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Cap. 39 – Mais ondas de matéria Ondas em cordas e ondas de matéria; Energia de um elétron confinado (1D); Mudanças de energia; Função de onda de um elétron.

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1 Cap. 39 – Mais ondas de matéria Ondas em cordas e ondas de matéria; Energia de um elétron confinado (1D); Mudanças de energia; Função de onda de um elétron confinado (1D); Elétron em poço finito; Outras armadilhas; Elétron confinado (2D e 3D); O átomo de hidrogênio; Átomo de Bohr; Eq. de Schrödinger.

2 Problema Início de séc. XX: –Estrutura dos átomos? –Como átomos emitiam ou absorviam luz? –Por que os átomos são estáveis? –Ligações químicas? 1926: Física Quântica –Partículas que formam o átomo se comportam como onda eq. Schrödinger

3 Ondas em cordas e ondas de matéria Ondas em cordas de comprimento infinito –Onda progressiva de qualquer comprimento de onda / frequência Ondas em cordas de comprimento limitado e extremidades fixas –Ondas estacionárias de comprimentos de onda quantizados O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas uma destas energias.

4 Energia de um elétron confinado Armadilha unidimensional –Energia potencial: U = – e.V –O potencial associado à esta armadilha: poço de energia potencial infinitamente profundo –A partícula fica confinada entre x = 0 e x = L n = 1 estado fundamental n > 1 estados excitados Applet

5 Mudanças de energia –O elétron só passará para outro estado se receber ou liberar a diferença de energia entre os níveis Transição para maiores energias –Absorção de fóton –O elétron só executará um salto quântico se o fóton possuir a energia E Transição para menores energias –Emissão de fótons

6 Funções de onda de um elétron confinado Resolvendo eq. de Schrödinger para 0 < x < L: Probabilidade de detecção: Applet Princípio da correspondência: Para grandes valores dos números quânticos, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.

7 Funções de onda de um elétron confinado NORMALIZAÇÃO: A partícula deve estar em algum lugar do espaço. Logo: Energia de ponto zero: –Menor valor de energia é para n = 1. Assim: Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.

8 Um elétron em um poço finito Poço infinito: idealização Poço finito: mais realista Equação de Schrödinger: Applet

9 Exemplo Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Figura absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x > L?

10 Outras armadilhas para elétrons Nanocristalitos (d ~ 1 nm): poço de potencial Menor tamanho maior diferença de energia menor comprimento de onda Solução de CdSe: CdSe Tamanho

11 Outras armadilhas para elétrons Pontos quânticos: metal / isolante / semi-condutor / isolante / metal Isolante: poço de potencial Diferença de potencial ou laser: controle do tunelamento através da camada semicondutora elétron buraco

12 Outras armadilhas para elétrons Ponto quântico fotodetector de infravermelho (QDIP - Quantum dot infrared photodetector) InGaAs/InGaP/GaAs 256x256 pixels.

13 Armadilhas bidimensionais e tridimensionais Elétron em 1D (fio): M. Lagos, V. Rodrigues, and D. Ugarte, JESRP 156, 20 (2007) Um número quântico!!!

14 Outras armadilhas para elétrons Currais quânticos: Átomos de ferro sobre cobre Ondas de matérias elétrons do cobre confinados na barreira de potencial dos átomos de ferro

15 Armadilhas bidimensionais e tridimensionais Elétron em 2D (placa): Dois números quânticos!!!

16 Exemplo Na notação da equação abaixo, a energia do estado fundamental do elétron em um curral retangular é E 0,0 ; E 1,0 ; E 0,1 ou E 1,1 ? n x, n y = 1, 2, 3, …

17 Armadilhas bidimensionais e tridimensionais Elétron em 3D (volume): Três números quânticos!!!

18 Exemplo Um curral retangular de larguras L x =L e L y =2L contém um elétron. Determine, em múltiplos de h 2 /8mL 2, onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron, (b) a energia do primeiro estado excitado, (c) a energia dos primeiros estados degenerados e (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estado excitado.

19 O átomo de hidrogênio e-e- p+p+

20 Johann Balmer (1885) Série de Balmer: hidrogênio só emite / absorve quatro comprimentos de onda no visível. UVVisível

21 O átomo de hidrogênio Hipóteses do modelo de Bohr: 1.Elétron gira em torno do núcleo em órbita circular; 2.Módulo do momento angular do elétron só pode assumir valores quantizados:

22 Raio de Bohr: Força de Coulomb: Mas: O átomo de hidrogênio Energia:

23 O átomo de hidrogênio Mudanças de energia n baixo = 1, Série de Lyman n baixo = 2, Série de Balmer n baixo = 3, Série de Paschen n baixo = 4, Série de Brackett constante de Rydberg

24 O átomo de hidrogênio

25 O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger Potencial Coulombiano 3D: 3 números quânticos Elétron confinado: Energia discreta SímboloNomeValores permitidos nnº quântico principal1, 2, 3, 4,... lnº quântico orbital0, 1, 2,..., n – 1 mlml nº quântico orbital magnético– l, – l + 1,..., l – 1, l

26 O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger nlmlml 1001s 2 002s 1 2p s 1 3p d 0 1 2

27 O átomo de hidrogênio e a eq. de Schrödinger Energia / Funções de onda: Função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio Densidade de probabilidade radial Raio mais provável para n = 1: raio de Bohr. Porém, há probabilidade de o elétron estar em qualquer raio. A noção de o elétron orbitar o núcleo em órbitas definidas é INCORRETA!!! Raio de Bohr

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