A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método."— Transcrição da apresentação:

1 MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

2 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. Discutir o momento de inércia de massa.

3 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 3 Para um elemento de área dA é definido como dI xy = xydA, assim para toda a área A, o produto de inércia é: Pode ter valores positivos ou negativos. Será nulo quando os eixos x e y forem de simetria Produto de Inércia de uma Área

4 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Teorema dos Eixos Paralelos Considerando os valores de x e y da fórmula pelo valores do sistema de eixos qualquer:

5 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 5 Determine o produto de inércia da área triangular da figura. Problema 10.C – Triângulo direito

6 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 6 dx x y Problema 10.C – Triângulo direito - Solução

7 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 7 Determine o produto de inércia da área triangular da figura. Problema 10.C – Triângulo esquerdo

8 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 8 dx x y Problema 10.C – Triângulo esquerdo - Solução

9 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 9 Usando equações de transformação entre as coordenadas x, y e u, v: 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados

10 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 10 As fórmulas finais são: 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados

11 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados

12 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 12 Momentos Principais de Inércia Existe um ângulo de inclinação tal que os momentos de inércia u e v são máximos e mínimos. Derivando-se as expressões de I u e I v em relação ao ângulo encontra-se:

13 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 13 Momentos Principais de Inércia Verifica-se que para os eixos principais o produto de inércia é nulo. Como o produto de inércia é nulo para um eixo de simetria, pode-se concluir que qualquer eixo de simetria também é um eixo principal da área. Obviamente que o outro eixo principal será ortogonal ao primeiro.

14 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Círculo de Mohr para Momentos de Inércia Denominando R a expressão da raiz da equação anterior: A equação dos momentos principais de inércia pode ser reescrita como:

15 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Círculo de Mohr para Momentos de Inércia Ou seja, podemos desenhar o seguinte círculo:

16 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 16 Usando o círculo de Mohr, determine os momentos principais de inércia da área mostrada com relação ao centro de gravidade. Exemplo 10.10

17 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 17 Exemplo Solução Usando valores já calculados nos exemplos 10.6 e 10.8: I x = 2.90e+9 mm 4, I y = 5.60e+9 mm 4 e I xy = -3e+9 mm 4. O raio do círculo é:

18 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 18 Exemplo Solução 1. Construir o círculo (R = e+9) em qualquer posição e desenhar o eixo I x :

19 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 19 Exemplo Solução 2. Marcar o ponto A usando (I x – I y ) / 2 (-1.35e+9 mm 4 ) e I xy (-3e+9 mm 4 ).

20 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 20 Exemplo Solução 3. Traçar a reta que passa por A, cruza o círculo em diagonal passando pelo centro.

21 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 21 Exemplo Solução 4. Definir os eixos principais que passam pelo ponto C e pelos pontos A e B.

22 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 22 Exemplo Solução 5. Marcar a posição do eixo I xy usando I x (2.90e+9 mm 4 ).

23 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Calcular os valores dos momentos principais a partir da origem dos eixos I xy e I x. Exemplo Solução Observe que este posicionamento dos eixos principais está feito em relação aos eixos I x e I xy e não em relação aos eixos da seção x e y!

24 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 24 Exemplo Solução 7. Marcar os eixos principais na seção. Começar marcando o eixo u de I max contando no sentido anti-horário a partir do eixo positivo x já que este ângulo está no sentido anti-horário a partir do eixo 1 do círculo de Mohr. O eixo v é ortogonal ao primeiro.

25 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Momento de Inércia de Massa Propriedade que mede a resistência do corpo a acelerações angulares. O volante (roda grande e pesada) da figura esta conectada a um cortador de metal. Ele é usado para providenciar um movimento uniforme na lâmina de corte. Qual é propriedade mais importante do volante para o seu uso? Como calcular o valor desta propriedade? Por que a maior parte da massa do volante esta localizado afastado do centro?

26 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Momento de Inércia de Massa Considere um corpo rígido com centro de massa em G. Ele pode girar livremente em torno do eixo z, que passa por G. Se for aplicado um torque T em torno do eixo z no corpo, ele começa a girar com aceleração angular. T e são relacionados pela equação T = I. Nesta equação, I é o momento de inércia de massa (MIM) em torno do eixo z. O MIM de um corpo é uma propriedade que mede a resistência do corpo a aceleração angular. Isto é similar a função da massa na equação F = m a. O MIM é utilizado na analise de movimentos rotacionais (em Dinâmica). G · T Conceito do MIM

27 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Momento de Inércia de Massa Definição do MIM Considere um corpo rígido e eixo arbitrário p mostrado na figura. O MIM em torno do eixo p é definido como I = m r 2 dm, onde r, o braço de momento, é a distância perpendicular do elemento dm até o eixo. O MIM é um valor sempre positivo e possui unidade de kg ·m 2 or slug · ft 2. p

28 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Momento de Inércia de Massa Conceitos correlatos Teorema dos eixos paralelos: De forma semelhante já vista este teorema pode ser usado para encontrar o MIM em torno de um eixo p situado a uma distância d do eixo que passa pelo centro de massa G. A fórmula é: I p = I G + (m) (d) 2 (onde m é a massa do corpo) O raio de giração é similarmente definido como: k = (I / m) Finalmente, o MIM pode ser obtido por integração ou pelo método dos corpos compostos. · G p d m p

29 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 29 Problema 10.D Dados:O volante consiste de um fino anel com massa de 10 kg e de quatro raios com massa de 2 kg cada. Encontrar: O MIM do volante em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto A. Dica: Seguir os passos similares ao do Momento de Inércia de áreas compostas. p q r

30 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 30 Problema 10.D 1. O volante pode ser dividido em um anel (p) e duas cruzetas (q e r). Podem as cruzetas serem tratadas como iguais? p q r

31 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 31 Problema 10.D - Solução p q r 2. O centro de massa de cada uma das três peças é o mesmo ponto O, situado a 0.5 m do ponto A. I A = I O + (m) (d) 2 I Ap = 10 (0.5) (0.5) 2 = kg·m 2 I Aq = I Ar = (1/12) (4) (1) (0.5) 2 = kg·m 2 4. Agora adicione os três valores no ponto A. I A = I Ap + I Aq + I Ar I A = 7.67 kg·m 2 3. Usando os dados das peças e o teorema dos eixos paralelos calcular o que segue.


Carregar ppt "MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Desenvolver um método."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google