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Projeto História da Matemática Os erros envolvidos nas medições de Eratóstenes Como vimos, Eratóstenes determinou o comprimento da circunferência e do.

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1 Projeto História da Matemática Os erros envolvidos nas medições de Eratóstenes Como vimos, Eratóstenes determinou o comprimento da circunferência e do raio da Terra, considerando: - S a distância entre Siena e Alexandria; - o ângulo da fração formada pelas cidades de Siena e Alexandria; - C a circunferência da Terra; - R o raio da Terra; E as relações: e

2 Uma outra maneira idêntica consiste em simplesmente utilizar a definição de ângulo em radianos: Também podemos deduzir esta relação a partir das duas relações anteriores: e Projeto História da Matemática

3 Com essas considerações, temos o intervalo no qual podemos esperar o real valor do raio terrestre. Podemos esperar um raio máximo e um raio mínimo, considerando os erros: Projeto História da Matemática Mas como em todo problema físico, sabemos que as medidas possuem um erro envolvido. Assim, a distância entre Siena e Alexandria será: e o ângulo medido em radianos será:

4 O erro envolvido no raio será dado por: Substituindo R max e R min na equação acima obtemos:. Projeto História da Matemática

5 A medidas da altura do objeto e da sombra envolvem certos erros. Assim, o comprimento do objeto será: e o comprimento da sombra será: O Erro no ângulo Analogamente ao que fizemos anteriormente devemos observar que o ângulo é determinado pela seguinte relação: Projeto História da Matemática

6 Teremos um ângulo máximo e um ângulo mínimo de acordo com as seguintes relações: O erro no ângulo será: Substituindo e : Projeto História da Matemática

7 Temos então a primeira dificuldade para se determinar o erro na medição do ângulo. Não sabemos o comprimento do objeto, o comprimento da sombra e muito menos os erros envolvidos nessas medidas. As fontes de erros são diversas: o objeto poderia não estar na vertical exata, existência de penumbra, o horário da medição da sombra, dentre outros. Projeto História da Matemática

8 Quando Eratóstenes concebeu seu método, considerou o Sol como se fosse uma fonte luminosa pontual e infinitamente distante. Se fosse esse o caso, os raios solares projetariam somente a sombra do poste sem a existência de penumbra e isso não seria uma fonte de erro na medição do comprimento. Projeto História da Matemática

9 No entanto, o sol é uma fonte extensa que está distante cerca de 1, km da terra e apresenta um diâmetro angular de 0,5°. Isso leva fatalmente a existência da penumbra, dificultando a medição do comprimento da sombra projetada do objeto. Projeto História da Matemática

10 O valor medido da sombra estaria entre um valor máximo e um valor mínimo por causa desta dificuldade. Podemos dizer que esse fato acarreta um erro no ângulo medido de no mínimo 0,5º dividido por dois. Ou seja, como o ângulo medido por Eratóstenes foi de 7,2°, o erro devido a penumbra é de cerca de 3,5%.

11 O erro na distância entre as cidades A distância entre as cidades de Siena e Alexandria depende da quantidade de passos e o comprimento de cada passo. Projeto História da Matemática Onde N P é o número de passos dados e S´ é o comprimento de cada passo. O erro no comprimento será dado por.

12 As relações para distância máxima e mínima serão: Dessa forma, obtemos o valor para S dado pela seguinte expressão: Projeto História da Matemática

13 Aqui temos mais uma dificuldade: não sabemos a quantidade de passos dados entre as duas cidades, bem como não sabemos o tamanho dos passos dados e muito menos os erros envolvidos na questão. As fontes de erros são diversas: falta de linearidade no percurso, erro na contagem dos passos, variação do tamanho dos passos, dentre outros.

14 O número de passos deveria ser a média do número de passos de várias das pessoas que fizeram o trajeto e o erro deveria ser o desvio padrão. O mesmo para o comprimento do passo: seria necessário uma média do comprimento de vários passos e o erro deveria ser o desvio padrão. Projeto História da Matemática

15 Uma estimativa para o erro Vamos admitir um erro de 10% no ângulo e um erro de 20% na distância S. Podemos escrever as seguintes relações: e Vimos que o erro no raio da terra é dado por:

16 Substituindo os valores de e na equação anterior: Projeto História da Matemática

17 Esta estimativa nos diz que o erro do raio será de aproximadamente 30,3% do raio da Terra. Em outras palavras o raio da terra será Para se ter uma idéia do impacto do erro, podemos pensar em duas Terras uma com o raio máximo possível e a outra com o raio mínimo possível. Projeto História da Matemática

18 Método alternativo para a medição do ângulo com maior precisão Projeto História da Matemática


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