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TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. Orientadora : Profa. Dra. Dalva Maria de Oliveira Villarreal Componentes: Ana Clarice Caldato Eloísa Leiko Saito.

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1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 Orientadora : Profa. Dra. Dalva Maria de Oliveira Villarreal Componentes: Ana Clarice Caldato Eloísa Leiko Saito Yamasaki Luciane Rossine Leão Márcia Regina Rodrigues da Costa Medeiros Vanessa Aparecida Palomo Estagiários: Fabiola Fernanda Fatareli; Marcos Vinícius dos Santos.

3 Objetivo Aos professores: propostas e material de apoio para serem utilizados em sala de aula, no exterior da sala e no laboratório de informática. Aos estudantes: autoformação e apoio do conteúdo de trigonometria exploração de figuras manipuláveis através do software Cabri Géomètre verificação das fórmulas e regras de definição apresentadas através de exercícios propostos aplicação do conteúdo estudado no cotidiano através da visualização de maquete.

4 Estruturas da Apresentação Um pouco da história Relações da Trigonometria com conhecimentos de outras áreas A trigonometria no triângulo retângulo (teoria, definições e formulações) Fazendo Descobertas Software Cabri-Géomètre e a Trigonometria no Triângulo Retângulo Atividade Extra-Classe Aplicações das relações trigonométricas Resolução de alguns problemas com o auxilio de uma maquete Conclusão

5 Um pouco da história Embora a origem da Trigonometria é incerta, sabe-se que é anterior a era Cristã. Os egípcios e os babilônios usavam as relações existentes entre os lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas ligados a resolução de situações de medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. A palavra Trigonometria vem do grego TRI - três, GONO - ângulos e METRIEN - medida, significando Medidas de Triângulos.

6 Para a evolução da trigonometria até os dias de hoje, foram muitas as contribuições, como a de Euler, que introduziu o conceito de seno, cosseno e de tangente. O pai da trigonometria, Hiparco de Nicéia, construiu a primeira tabela trigonométrica. Foi o fascínio pelos movimentos dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria.

7 Relações da Trigonometria com conhecimentos de outras áreas Atualmente a trigonometria não se limita a estudar os triângulos. Encontramos, por exemplo, aplicações na mecânica, eletricidade, acústica, música, astronomia, engenharia, medicina, enfim, em muitos outros campos da atividade humana.

8 A trigonometria no triângulo retângulo Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possua um ângulo reto.

9 Construindo triângulos retângulos semelhantes Dado um ângulo agudo qualquer, é possível desenhar um triângulo retângulo ou infinidade deles Pode-se observar que há uma relação entre ângulos agudos e lados de um triângulo retângulo ou ou

10 Relacionando lados e ângulos Em função do ângulo, diferenciamos a nomenclatura dos catetos. Em relação ao ângulo x, temos:

11 Relações Trigonométricas A primeira é chamada seno do ângulo x A segunda é chamada cosseno do ângulo x A última denomina-se tangente do ângulo x

12 Fazendo Descobertas Descobrindo seno, cosseno e tangente Com esta atividade os alunos serão levados a encontrar todas as razões existentes entre os triângulos por eles construídos. Obtendo:

13 Software Cabri-Géomètre e a Trigonometria no Triângulo Retângulo. Utilizando os recursos do software Cabri Géomètre, encontramos

14 Com o auxilio da calculadora, calculamos o seno, cosseno e tangente do ângulo do triângulo que construímos. Obtendo: Movimentando o ponto P, no Cabri Géometre, a fim de encontrar outros ângulos desejados, obtemos: Exemplo 1: Para ângulo de 20º

15 Exemplo 2: Para ângulo de 35º Exemplo 3: Assim determinamos uma tabela com os valores de senos, cossenos e tangentes de todos os ângulos que desejamos. Para ângulo de 10º

16 Atividade Extra-Classe Atividade Proposta: Medindo a largura de um rio · Forme grupo com mais de dois alunos. · O rio pode ser a rua ou o pátio de sua escola se preferir. · Mas atenção: para medir a largura do rio não vale atravessá-lo. Atividade desenvolvida - Medindo a largura de uma rua Desenvolvimento da atividade Dois alunos foram posicionados num mesmo lado da rua, alinhados, considerando um deles o vértice A (ângulo reto em A) e o outro o vértice B.

17 Com o teodolito o aluno do vértice B mediu o ângulo de abertura entre ele e um outro aluno que foi posicionado no lado oposto da rua (vértice C), perpendicular em relação ao vértice A; formando assim, um triângulo retângulo. Obtendo as seguintes medidas, segundo o ângulo de observação: Primeiro experimento B A C 90º 48,5º 10,24 m x

18 Segundo experimento B A C x 60º 90º 7,44 m Terceiro experimento A B C 10,24 m 90º x 54º

19 Conclusões da atividade desenvolvida Os alunos observaram que, a razão trigonométrica tangente solucionava o que eles estavam procurando a largura da rua, a partir dos dados que a situação problema fornecia. E diante dos resultados apresentados, o terceiro experimento atingiu uma melhor aproximação da largura da rua quando comparado com a largura real da rua. Através dessa experiência observou-se uma grande expectativa e desempenho dos alunos diante dos resultados encontrados e do resultado real.

20 Aplicações das relações trigonométricas Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com 20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial para a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimento no chão e voa em direção a ele numa inclinação de 35º como mostra a figura. Qual a extensão do vôo da ave? Solução: Portanto a extensão do vôo da ave é de aproximadamente 24 metros.

21 Resolução de alguns problemas com o auxilio de uma maquete Quando o avião levanta vôo, faz um ângulo de 20º com a linha do solo. Em 5 segundos percorre 400m. Que altura atinge ao fim deste tempo? Problema: Decolagem do Avião Solução: Portanto a altura que o avião atingiu em 5 segundos é de aproximadamente 136 metros

22 Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m? Problema: Comprimento da escada Solução: Portanto o comprimento da escada é de 8 metros

23 Problema: Barco à deriva Do topo de um farol de 80m de altura, avistou-se um barco à deriva segundo um ângulo de depressão de 30º. Deseja-se saber: a) Qual é o ângulo de elevação que o tripulante deste barco avista o topo do farol neste mesmo instante? b) Qual é a distância x da base do farol ao barco, neste momento em que foi avistada? Solução: Um ângulo desse triângulo é 60º, pois, 60º + 30º (ângulo de depressão) = 90º. Como o outro ângulo desse triângulo corresponde ao ângulo formado pelo farol e a base desse farol, temos então um ângulo de 90º. a) Portanto o ângulo de elevação é: 90º + 60º + 30º = 180º

24 b) Utilizando a relação trigonométrica, temos: Portanto a distância do barco ao farol é de aproximadamente 80 m ou 138 m.

25 Conclusão Ao desenvolver este trabalho foi grande a experiência adquirida na área da pesquisa. Levando em conta a falta de tempo e oportunidade para realizarmos trabalhos tão significativos e importantes como este, conseguimos observar diferentes formas de abordar o assunto que será trabalhado. Esperamos que após o desenvolvimento dessas atividades, a utilização das fórmulas trigonométricas no triângulo retângulo fique clara, de forma a evitar a mecanização das mesmas.


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