A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1. 2 3 Planejamento do curso DIA (CH) TEMAS RECURSOS 27/06 2Apresentação do curso e introdução Datashow e PC 04/07 2Elementos básicos de análise de sobrevivência.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1. 2 3 Planejamento do curso DIA (CH) TEMAS RECURSOS 27/06 2Apresentação do curso e introdução Datashow e PC 04/07 2Elementos básicos de análise de sobrevivência."— Transcrição da apresentação:

1 1

2 2

3 3 Planejamento do curso DIA (CH) TEMAS RECURSOS 27/06 2Apresentação do curso e introdução Datashow e PC 04/07 2Elementos básicos de análise de sobrevivência Datashow e PC 11/07 2Força de mortalidade Datashow e PC 18/07 2Relações de funções de sobrevivência com tábuas Datashow e PC 25/07 2Aplicações com tábuas de mortalidade reais Datashow e PC 01/08 2Outras funções de tábuas de mortalidade Datashow e PC 08/08 2Aplicações de força central de mortalidade Datashow e PC 15/08 2Leis de mortalidade Datashow e PC 22/08 2Tipos de tábuas: seleta, final, agregada Datashow e PC 29/08 2Inferência em tábuas de mortalidade Datashow e PC 05/09 2Dinâmica de populações e sequência de tábuas Datashow e PC 12/09 2Revisão e tirada de dúvidas final Quadro-negro 12/09 2Prova final Avaliação A avaliação será com base em trabalhos feitos ao final de cada aula (peso 40%) uma prova final (peso 60%).

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8 Tempo de vida futura encurtado (discretizado) Tábuas de mortalidade são frequentemente apresentadas com dados agrupados por anos inteiros. Pode-se definir a variável discreta K(x), dada pelo #anos completados por (x) antes de sua morte. K(x) = parte inteira de T(x). Assim, K(x) tem fç de probabilidade P( K(x) = k ) = P( k < T(x) k+1 ) = k| q x A função de distribuição de K(x) é uma função escada (K(x) é discreta) com F(k) = 0| q x k| q x = k+1 q x, para k= 0, 1, 2,.. Note que k| q x = k p x - k+1 p x

9 9

10 10

11 11

12 12

13 13

14 14 Comentários sobre a Tábua de Mortalidade americana tabela parte de uma raiz (hipotética) l 0 = ; 1% dos recém-nascidos deverá morrer no 1o. ano de vida; 77% dos recém-nascidos viverá até 65 anos; Mínimos locais no número de mortes ocorrem aos 11 e 27 anos; O máximo número de mortes dentro de um grupo é aos 83 anos; Não há indicação de idade limite pois 21 ainda estão vivos; l x e d x foram arredondados (sem haver necessidade).

15 15 Exercícios sobre tábuas de mortalidade - Parte I 1) Usando a tábua de mortalidade americana , qual a probabilidade de (20) i) viver até 100 anos? ii) morrer antes de 70 anos? iii) morrer em sua 10a década? Solução: i) P( T(20) > 100) = P( T > 100 | T > 20 ) = P( T > 100)/ P( T > 20 ) = S(100)/S(20). Mas S(x) = l x / l 0. Logo, S(100)/S(20) = l 100 / l 20. ii) P( T(20) 70 ) = P( ) = [S(20) - S(70)] / S(20) = 1 - S(70)/S(20). Das contas em (i), S(70)/S(20) = l 70 / l 20. iii) P( ) = [S(90) - S(100)] / S(20). Das contas em (i), P( 90 < T(20) 100 ) = ( l 90 - l 100 )/ l 20.

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26 Números esperados de anos vividos por sobreviventes T x - número esperado de anos vividos pelos sobreviventes até x T x = 0 t l x+t x+t dt = 0 l x+t dt Pode se mostrar que T x / l x = e 0 x. L x - número esperado de anos vividos entre x e x+1 pelos sobreviventes até x L x = 1 0 t l x+t x+t dt + l x+1. 1 = 1 0 l x+t dt Logo, T x = L x + L x Vida média entre x e x+1 a x = E[ T(x) | T(x) < 1 ] = [ 1 0 t l x+t x+t dt ] / [ 1 0 l x+t x+t dt ] Logo, L x = a x d x + l x+1.

27 27 Taxa central de mortalidade m x = [ 1 0 l x+t x+t dt ] / [ 1 0 l x+t dt ] = ( l x - l x+1 ) / L x = d x / L x Média de x ponderada pela padronização de l x É uma espécie de versão discreta da força de mortalidade x Útil na modelagem estatística de tábuas de mortalidade pois fornece a relação entre o número de falecidos entre as idades x e x + 1 e o número de indivíduos que possuem a idade x. Temos ainda que m x = d x / [ l x - (d x /2) ] = (d x / l x ) / [ (l x / l x )- (d x /2 l x ) ] = 2 q x / ( 2 - q x ). Daí decorre que q x = 2 m x / (2 + m x ) e p x = 2 - m x / (2 + m x ).

28 28 Se as mortes entre x e x+1 se distribuem uniformemente (l x+t x+t = d x ) a x = 1/2 L x = l x+1 + (1/2) d x = l x - (1/2) d x = ( l x + l x+1 ) / 2 T x = (1/2) l x + l x+1 + l x (provar) e 0 x = e x + 0,5 Outras possibilidades podem ser contempladas para a forma de distribuição das mortes entre x e x+1. As mais famosas são: i) uniforme (vista acima), ii) exponencial (força de mortalidade constante) iii) Balducci

29 29

30 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36 Existem situações que fazem com que mortalidade seja diferenciada: indivíduos podem ter sido aprovados em exame médico indivíduos podem ter deficiência física etc... Padrão de mortalidade é alterado e novas probabilidades devem ser utilizadas. Para explicitar esse ponto, notação também será alterada: x [x], idade na qual indivíduo teve padrão mudado (por exame médico). (x+u) ([x]+u), indivíduo com x+u anos que teve padrão mudado em x Exemplo: considere 3 indivíduos com 30+i anos: (30+i), ([30]+i) e ([31]+i-1) 2 q 30+i é a probabilidade de (30+i) morrer em 2 anos 2 q [30]+i é a probabilidade de [30]+i morrer em 2 anos 2 q [31]+i-1 é a probabilidade de [31]+i-1 morrer em 2 anos Tábuas construídas para esses indivíduos são ditas tábuas seletas.

37 37 Espera-se que efeito do exame acabe com o tempo e mortalidade dependa apenas da idade, isto é, que exista r tal que q [x-j]+r+j q [x]+r q [x]+r, para j > 0 r é o período de seleção. A sociedade de atuária americana recomenda r=15, isto é, tomar q [x-j]+15+j q [x]+15 Com isso, tábuas seletas só precisam ter r colunas com probs. q [x]+j, j=1,..., r. A tábua de mortalidade para ([25]) necessita dos valores de q [25]+j, j=1,..., 15, 16,... Podemos obter q [25]+j, j=1,..., 15 da tábua seleta q [25]+15+j, j=1,... das relações q [25]+16 q [26]+15 q 41, q [25]+17 q [27]+15 q 42,... Tábuas seletas e finais são obtidas pela truncagem das tabelas seletas após o período de seleção r. A coluna contendo q [x]+r (= q x+r ) de uma tábua seleta e final é chamada de tábua final.

38 38 A tabela abaixo contém um trecho da tábua de seguradoras inglesas [x] 1000 q [x] 1000 q [x] q x+2 l [x] l [x]+1 l x+2 x , , , , , , , , , , , , , , , O período de seleção usado nessa tábua foi r=2. Note que l [x+2] l [x+1]+1 l x+2 e portanto é razoável supor que l [x]+2 = l x+2. Entretanto q [x+2] < q [x+1]+1 < q x+2 são bem diferentes e, embora todas se refiram a (32), ordem faz sentido. Tábua agregada leva em conta apenas a idade dos indivíduos.

39 39 Exercício sobre tábuas seletas Com base na tábua das seguradoras inglesas, calcule 2 q [30], 5 p [30], 1| q [31] e 3 q [31]+1 Solução: i) 2 q [30] = P( ([30]) sobreviver 2 anos) = l 32 / l [30] = / = 0, ii) 5 p [30] = P( ([30]) sobreviver 5 anos) = l 35 / l [30] = / = 0, iii) 1| q [31] = P( ([31]) morrer em seu 32o. ano) = ( l [31]+1 - l [31]+2 ) / l [31] Como l [31]+2 = l 33., 1| q [31] = ( ) / = 0, iv) 3 q [31]+1 = P( ([31]+1) morrer em 3 anos) = ( l [31]+1 - l [31]+4 ) / l [31]+1 Como l [31]+4 = l 35., 3 q [31]+1 = ( ) / = 0,00213.,

40 40

41 41 Inferência em tábuas de mortalidade (cont.) Normalmente em tábuas, não há censura q x = d x / l x. Supondo que as mortes na idade [x] estão concentradas em x + ½, o tempo de exposição na idade x é E x = l x d x. ½ = l x - d x. ½ Supondo que a taxa de mortalidade é constante em cada idade ( x+s = x+1/2, para 0 < s < 1), estimamos x+1/2 = d x / E x q x = 1– exp( - x+1/2 ) = 1– exp(- d x / E x ). Observações: Os 2 estimadores de q x são parecidos pois 1 – exp(-z) z, se z for pequeno Se a taxa de mortalidade é constante para cada idade, a verossimilhança da idade x é ( x+1/2 ) dx exp( - x+1/2 E x ) d x / E x é EMV de x+1/2,

42 42 Para usar métodos analíticos de inferência, precisamos assumir distribuição para v.a.s d x e E x (ou l x ). Costuma-se assumir E x (ou l x ) conhecidos. Existem 2 opções mais comuns para d x : d x Poisson ( x+1/2 E x ) da verossim. Acima d x Binomial ( l x, q x ) Na prática, não há muita diferença nos 2 caminhos; Se l x é grande e q x é pequeno (normalmente verdade) então Binomial Poisson, l x E x q x x+1/2

43 43 Intervalos de confiança (caminho Poisson) Assumindo o caminho Poisson, podem-se construir I.C.s para x+1/2 a partir de I.C.s para = x+1/2 E x. Exemplo: suponha d x = 19 e E x = 2000, para algum x O I.C. 90% para é 12,44 < < 27,88 (da tabela do Gerber) Dividindo todos os termos por 2000, I.C. 90% para x+1/2 é 0,00622 < x+1/2 < 0, ,00624 < exp ( x+1/2 ) < 1, ,98616 < exp ( - x+1/2 ) < 0, ,00620 < 1 - exp (- x+1/2 ) < 0,01384 I.C. para q x Note semelhança entre os I.C.´s de x+1/2 e q x

44 44 Intervalos de confiança (caminho binomial) Assumindo o caminho binomial, podem-se construir I.C.s para q x a partir da aproximação normal d x /l x normal (q x, q x (1- q x )/l x ). Daí, obtém-se o I.C. 95% para q x dado pelos limites (d x /l x ) 1,96 [ d x (l x - d x )/ (l x ) 3 ] 1/2 Para I.C. 99% troca-se 1,96 por 2,576. Exemplo: suponha d x = 19 e l x = 2000, para algum x d x /l x = 0,0095 d x (l x - d x )/ (l x ) 3 = 19 ( )/ = (0,002169) 2 Assim, I.C. 95% para q x tem limites 0,0095 1,96. 0, I.C. 95%: 0,00525 < q x < 0,01375 Aproximação normal funciona bem para l x grandes.

45 45 Abordagem Bayesiana (caminho Poisson) Usando Poisson, a verossimilhança da idade x é dada por l( x+1/2 ) = ( x+1/2 ) dx exp( - x+1/2 E x ) Supondo prioris x+1/2 Gama ( x, x ), obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori x+1/2 | dados Gama ( x + d x, x + E x ). A média a posteriori de x+1/2 é ( x + d x ) / ( x + E x ). A média a posteriori de q x = 1– exp( - x+1/2 ) é 1–[ x /( x + 1) ] x. Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a partir da distribuição Gama. Intervalos de credibilidade para q x podem ser construídos, a partir dos intervalos para x+1/2.

46 46 Abordagem Bayesiana (caminho Binomial) Usando binomial, a verossimilhança da idade x é dada por l( x+1/2 ) (q x ) dx (1 - q x ) lx -dx Supondo prioris q x Beta ( x, x ), obtém-se, pelo teorema de Bayes, a posteriori q x | dados Gama ( x + d x, x + l x ). A média a posteriori de q x é ( x + d x ) / ( x + l x ). Intervalos de credibilidade para x+1/2 podem ser construídos, a partir da distribuição Gama. Intervalos de credibilidade para q x podem ser construídos, a partir dos intervalos para x+1/2.

47 47 Graduação Os valores de q x estimados por todos os procedimentos acima não levam em conta nenhuma relação entre seus sucessivos valores. A decorrência disso é que eles podem ter grandes e indesejáveis flutuações, principalmente nas idades mais avançadas. Além disso, não levam em conta possíveis formas determinísticas (leis de mortalidade) que pode se querer impor. A idéia da teoria de graduação, introduzida por Whittaker em 1920, visa justamente tratar essas questões. Veremos mais tarde como isso pode ser feito.

48 48 Forças de mortalidade proporcionais Sejam p x+1/2 = f. m. para idade x da tábua padrão x+1/2 = f. m. para idade x da tábua de interesse Suponha que tábua de interesse tenha força de mortalidade proporcional à uma tábua padrão, isto é, x+1/2 = f p x+1/2, para toda idade x. Temos que d x Poisson ( x+1/2 E x ) = Poisson (f p x+1/2 E x ). Assim, d = x d x Poisson (f x p x+1/2 E x ). Portanto, f pode ser estimado por ( x d x )/( x p x+1/2 E x ) e e s+1/2 pode ser estimado por p s+1/2.( x d x )/( x p x+1/2 E x ) Intervalos de confiança para f (e x+1/2 ) podem ser construídos.

49 49 Múltiplas causas de morte Considere a decomposição da morte pelas suas m causas. Temos assim, para cada idade x, m forças de mortalidade 1,x+1/2,..., m,x+1/2 m prob. condicionais de morte q 1,x,..., q m,x m contagens de mortos d 1,x,..., d m,x Os E.M.V. de j,x+1/2 são dados por d j,x / E x, j = 1,..., m. Analogamente, os E.M.V. de q j,x são dados por (d j,x /d x ) [ 1 – exp ( - d x /E x ) ], j = 1,..., m. Intervalos de confiança para j,x+1/2 e q j,x podem ser construídos. Estimadores e intervalos Bayesianos também podem ser obtidos.

50 50

51 51

52 52

53 53

54 54 Inferência em tábuas de mortalidade Estimação de m x Na prática, dispomos de informação sobre mortes observadas na população. Com base, nesses dados procuramos obter estimadores de propriedades da população. Uma das mais usadas é a taxa central de mortalidade pois é dada por uma relação direta entre mortes e indivíduos em risco para cada dado intervalo (de 1 ano). Sejam D x = número observado de mortes na idade x e L x = número observado de anos vividos na idade x Note que E[ D x ] = d x, E [ L x ] = L x e m x = d x / L x. Uma hipótese comumente feita é que D x | L x Poisson ( m x L x ). Daí, obtém-se o estimador D x / L x para m x Hipóteses paramétricas sobre m x podem ser feitas. Exemplo: Gompertz - m x = B c x Pela regra de multiplicação P(A 1... A n ) = P(A 1 ) P(A 2 | A 1 ).... P(A n |A n-1... A 1 ) ( D 1 | L 1 ), ( D 2 | L 2 ), ( D 3 | L 3 ),... são independentes.

55 55 Temos todas as condições de um modelo linear generalizado (MLG): observações independentes D 1, D 2,..., D w função de ligação para a média variáveis explicativas (no caso, x a idade) Aplicando para o caso Gompertz temos m x = B c x. Portanto, E [ D x ] = m x L x = B L x c x. Tomando ligação logarítmica temos log E [ D x ] = log L x + log B + (log c) x. Trata-se de MLG com 1 covariável: x e intercepto dado por log L x + log B. Se Gompertz não é apropriada, outras opções podem ser usadas. Descrições mais realistas podem ter covariáveis x, x 2, x 3,... Ligação logarítmica é útil pois garante positividade de m x Outra opção é a abordagem não-paramétrica. Exemplo: modelos autocorrelacionados para m x m x = m x-1 + v x onde v x N(0, V).

56 56 Beltrão e Pinheiro (2002) num relatorio técnico da Funenseg construíram uma tábua seleta da população consumidora de produtos das seguradoras brasileiras. Eles optaram pelo caminho binomial. A graduação foi feita através da especificação de Thiele q x = q 1 (x) + q 2 (x) + q 3 (x) onde q 1 (x) cuidaria da população infantil (ausente nesse caso), q 2 (x) cuida da mortalidade por causas externas q 3 (x) cuida da mortalidade por envelhecimento As formas adotadas foram q 2 (x) = D exp [ - E (log x – log F ) 2 ] e q 3 (x) = G H x / ( 1 + K G H x )

57 57 Outras possibilidades a serem exploradas em graduação: Ao tomar o caminho binomial, queremos modelar probabilidades de morte q x que estão no intervalo [0,1]. Nesse caso, a transformação mais apropriada não é a logarítmica, usada no caso de taxas de mortalidade. A mais comum é a trasformação logit: x = log [q x /(1- q x )]. Diferentes modelos podem ser usados aqui como visto anteriormente.

58 58 Outra opção é aplicar as transformações diretamente nos dados e assumir a partir daí distribuição normal. Assim, no caminho Poisson, tomamos log (d x /E x ) como sendo normal com média x+1/2 ; no caminho binomial, tomamos logit (d x /l x ) como sendo normal com média q x. Nesses casos, ainda resta a variância normal para ser modelada. Esse caminho é aproximado (os anteriores são exatos). Mas a aproximação será boa para E x (ou l x ) grandes.

59 59

60 60

61 61

62 62

63 63 Sequência de tábuas de mortalidade Na prática, observamos várias tábuas publicadas a intervalos de tempo regulares. Podemos coloca-las em sequência de forma a estabelecer padrão para evolução delas. Se população for estacionária, padrão é constante. Isso pode ser checado! Idade \ Ano D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D onde D x z denota o número de mortos da idade x observado no ano z Continuamos com independência (condicional) entre D 1 z,..., D w z, para todo ano z. Supondo que as tabelas foram geradas de forma independente, temos independência entre as tabelas.

64 64 Assim, temos independência para D ,..., D w 1975,..., D ,..., D w A hipótese básica se mantém: D x z | L x z Poisson ( m x z L x z ), onde m x z é a taxa central de mortalidade da idade x no ano z L x z é o número observado de anos vividos após x no ano z Podemos propor MLG como o anterior só que agora temos x e z como possíveis covariáveis. Modelando x (como vimos antes) estudamos o padrão de morte da população. Modelando z estudamos o padrão de evolução da mortalidade ao longo do tempo. Exemplo: é razoável supor um declínio da taxa central de mortalidade ao longo dos anos para todas as idades (x=1,..., w) log m x z = x + x z onde espera-se < 0. x = 0 indica estacionariedade da população.


Carregar ppt "1. 2 3 Planejamento do curso DIA (CH) TEMAS RECURSOS 27/06 2Apresentação do curso e introdução Datashow e PC 04/07 2Elementos básicos de análise de sobrevivência."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google