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1 Aplicações de Funções de Base Radiais em Reconstrução de Superfícies e Modelagem Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança Universidade.

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1 1 Aplicações de Funções de Base Radiais em Reconstrução de Superfícies e Modelagem Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Sistemas e Computação - COPPE

2 2 Motivação

3 3 Roteiro Esquemas de Representação Esquemas de Representação Funções de Base Radiais Funções de Base Radiais Visualização e Poligonização Visualização e Poligonização Proposta de Trabalho Proposta de Trabalho Resultados Preliminares Resultados Preliminares Conclusões Conclusões

4 4 Esquemas de representação de superfícies Representação Discreta Representação Discreta Representação Paramétrica Representação Paramétrica Representação Implícita Representação Implícita

5 5 Representação Discreta Vantagem: Capacidade de representar formas de topologia arbitrária com precisão arbitrária Desvantagens: Ocupam grande quantidade de memória e podem apenas aproximar objetos curvos

6 6 Representação paramétrica Superfície representada por retalhos Superfície representada por retalhos Descrita por equações paramétricas Descrita por equações paramétricas Exemplos Exemplos Bézier Bézier Hermite cúbicos Hermite cúbicos B-Splines B-Splines NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) Vantagens: Podem representar superfícies suaves Podem amostrar superfícies em resolução arbitrária Desvantagem: Necessitam combinar muitos retalhos para objeto fechado

7 7 Representação Implícita A superfície é um conjunto de nível (level set surface),ou seja, f -1 (c) A superfície é um conjunto de nível (level set surface),ou seja, f -1 (c) f(p) = 0 f(p) < 0 f(p) > 0

8 8 Rep. Implícitas (cont.) Vantagens Vantagens Representam bem superfícies suaves Representam bem superfícies suaves Podem ser avaliadas em resolução arbitrária Podem ser avaliadas em resolução arbitrária

9 9 Reconstrução de Superfícies Escaneamento 3DRenderização

10 10 Reconstrução

11 11 Problema de interpolação de pontos espalhados Desejamos construir algum objeto Desejamos construir algum objeto Esquemas explícitos Esquemas explícitos Usam Delaunay / Voronoi (Edelsbrunner / Amenta et al) Usam Delaunay / Voronoi (Edelsbrunner / Amenta et al) Esquemas implícitos Esquemas implícitos Método da Partição da Unidade (Ohtake et al) Método da Partição da Unidade (Ohtake et al) Moving Least Squares (MLS surfaces) (Alexa / Levin / Mederos et al / Xie et al / Amenta et Kil) Moving Least Squares (MLS surfaces) (Alexa / Levin / Mederos et al / Xie et al / Amenta et Kil) Blobs (Bloomenthal / Buraki) Blobs (Bloomenthal / Buraki) RBFs (Turk & OBrien / Ohtake et al / Carr, Beatson et al ) RBFs (Turk & OBrien / Ohtake et al / Carr, Beatson et al ) Conjuntos de nível (Level sets) (Zhao et al / Du & Qin) Conjuntos de nível (Level sets) (Zhao et al / Du & Qin)

12 12 Interpolação Thin-Plate Dado um conjunto de n pontos {x 1, …, x n } e um conjunto de valores da função Dado um conjunto de n pontos {x 1, …, x n } e um conjunto de valores da função {v 1, …, v n }, obter uma função s: 3 tal que s(x i ) = v i para i = 1, …, n (1) Suavidade: Suavidade: (2)

13 13 Funções de Base Radiais Uma função onde ||. || denota a norma Euclideana é chamada uma função de base radial (RBF - Radial Basis Function), porque depende apenas da distância Euclideana entre os pontos x e x i. r = ||x – x i ||

14 14 RBFs com suporte compacto Funções de Wendland

15 15 Função de interpolação A função de interpolação que satisfaz (1) e minimiza (2) pode ser expressa por: A função de interpolação que satisfaz (1) e minimiza (2) pode ser expressa por:

16 16 Construção da função interpolante Onde ij = (x i – x j ), c i = p(x i ), v i = s(x i ), i coef. RBF, a, b, c, d cef. polinômio. Construção : O(n 2 ) : espaço O(n 2 ): operações Resolução : O(n 2 ) : espaço O(n 3 ): operações

17 17 RBFs O Sistema é mal condicionado O Sistema é mal condicionado Soluções numéricas: alguns erros para N muito grande Soluções numéricas: alguns erros para N muito grande Geralmente é resolvido por decomposição LU ou similar (lento) Geralmente é resolvido por decomposição LU ou similar (lento) RBFs com suporte compacto RBFs com suporte compacto São bem condicionados (matriz esparsa) São bem condicionados (matriz esparsa)

18 18 Fast RBFs Carr, Beatson & al Carr, Beatson & al Redução dos centros (solução aproximada) Redução dos centros (solução aproximada) Fast Multipole Method (Greengard & Rokhlin) Fast Multipole Method (Greengard & Rokhlin) Avaliação aproximada Avaliação aproximada

19 19 Modelagem com RBFs Turk & OBrien Turk & OBrien Usaram pontos de restrição Usaram pontos de restrição Pontos de fronteira: f(p i ) = 0 Pontos de fronteira: f(p i ) = 0 Pontos normais: f(p j ) > 0 Pontos normais: f(p j ) > 0 Pontos interiores: f(p k ) < 0 Pontos interiores: f(p k ) < 0 f > 0 f < 0 f = 0

20 20 Visualização de objetos implícitos - Pontos Espalhamento dos pontos baseado em física Forças de atração na superfície (gradiente e sinal) Forças de repulsão garentem afastamento uniforme

21 21 Curvas de silhueta Definidas como o conjunto de curvas em que o produto interno da normal a superfície e a direção da visão é zero. Definidas como o conjunto de curvas em que o produto interno da normal a superfície e a direção da visão é zero.

22 22 Curvas de nível Obtidas por interseção de planos perpendiculares à linha de visão Obtidas por interseção de planos perpendiculares à linha de visão

23 23 Renderização por polígonos Aproximação linear por partes + algoritmos de rendarização Aproximação linear por partes + algoritmos de rendarização

24 24 Ray Tracing Promove o acompanhamento de um raio de luz no sentido inverso Promove o acompanhamento de um raio de luz no sentido inverso Para cada pixel da imagem um raio é lançado Para cada pixel da imagem um raio é lançado Lento Lento

25 25 Volumétrica - Ray Casting Raios do ponto de vista de visão através de cada pixel são lançados no volume Raios do ponto de vista de visão através de cada pixel são lançados no volume A comtribuição ao pixel é calculada intregrando a função de densidade ao longo do raio. A comtribuição ao pixel é calculada intregrando a função de densidade ao longo do raio.

26 26 Poligonização Dado um campo escalar, i.e. f: 3 e uma constante c, obter uma aproximação linear por partes para a superfície f –1 (c) Dado um campo escalar, i.e. f: 3 e uma constante c, obter uma aproximação linear por partes para a superfície f –1 (c) Principais questões Principais questões Erros de aproximação Erros de aproximação Topologia correta Topologia correta Número de triângulos Número de triângulos Qualidade dos triângulos Qualidade dos triângulos

27 27 Algoritmos de poligonização Algoritmo de continuação (Bloomenthal) Algoritmo de continuação (Bloomenthal) Marching Cubes (Lorensen & Cline) Marching Cubes (Lorensen & Cline) Variantes Variantes Marching Tetrahedra (Treece & al) Marching Tetrahedra (Treece & al) Marching Triangles (Hartmann) Marching Triangles (Hartmann) Dual Contouring (Gibson, Shaefer & Warren) Dual Contouring (Gibson, Shaefer & Warren)

28 28 O sistema Teddy (Igarashi) Modelagem baseada em traços Modelagem baseada em traços Muitas operações são executadas através de traços (curvas) Muitas operações são executadas através de traços (curvas) Criação Criação Extrusão Extrusão Corte Corte Mistura Mistura Usa malha tradicional para representação Usa malha tradicional para representação Suavização usa a poligonização de Hoppe Suavização usa a poligonização de Hoppe Recentemente introduziu uma malha mais bonita Recentemente introduziu uma malha mais bonita Objetos com topologia esférica Objetos com topologia esférica

29 29 Forma livre com superfícies variacionais (Karpenko & al) Parecido com o Teddy Parecido com o Teddy Usa interpolação thin-plate (RBFs) Usa interpolação thin-plate (RBFs) Visualização via poligonização Visualização via poligonização Relaxa um pouco as restricões do Teddy Relaxa um pouco as restricões do Teddy Múltipla conexão dos componentes Múltipla conexão dos componentes Superfícies ralmente suaves Superfícies ralmente suaves Principais Problemas Principais Problemas É lento para modelos com muitos pontos É lento para modelos com muitos pontos Sem vincos e pontas (sharp features) Sem vincos e pontas (sharp features) Sem furos Sem furos

30 30 Proposta Propomos um sistema híbrido de modelagem à mão livre onde se possa construir e editar objetos tridimensionais trabalhando com representações paramétricas e implícitas variacionais. Modelagem de superfícies por meio de traços Edição da malha da superfície Formas arredondadas Vincos e pontas

31 31 Operações de Modelagem Criação Criação Deformação Deformação Combinação Combinação Operações booleanas Operações booleanas Mistura Mistura Outros Outros Corte Corte Escavação Escavação

32 32 Criação O usuário desenha a silhueta do objeto (curva fechada) O usuário desenha a silhueta do objeto (curva fechada) O sistema constrói o modelo 3D com base na silhueta inflando o polígono O sistema constrói o modelo 3D com base na silhueta inflando o polígono

33 33 Combinação (blending) Uma curva é traçada para unir duas partes do Objeto Uma curva é traçada para unir duas partes do Objeto As duas partes são unidas As duas partes são unidas

34 34 Extrusão

35 35 Perfuração Projeta-se o traço do furo na parte frontal e traseira da superfície Projeta-se o traço do furo na parte frontal e traseira da superfície Usa-se as duas projeções p/ computar alguns pontos médios Usa-se as duas projeções p/ computar alguns pontos médios Adiciona-se um ponrto no centro que é avaliado como negativo Adiciona-se um ponrto no centro que é avaliado como negativo Cria-se outro objeto Cria-se outro objeto Combinação Combinação

36 36 Edição - malhas Free-Form Modeling (Botsh & Kobbelt) Free-Form Modeling (Botsh & Kobbelt) A superfície deformada pode ser moldada com rigidez de anisotropica A superfície deformada pode ser moldada com rigidez de anisotropica A suavidade das deformaçõews variam de C 0 a C 2. A suavidade das deformaçõews variam de C 0 a C 2.

37 37 Free-Form modeling

38 38 Representação de malha híbrida (Allègre & al) Opera com malhas paramétricas e implícitas Utiliza uma Hybrid-Tree (generalização de CSG- Tree)

39 39 Sistema Desejamos que o sistema tenha as seguintes característica Desejamos que o sistema tenha as seguintes característica Baixa complexidade de avaliação/visualização, Baixo custo computacional para visualização, Pouco dependente das distribuições espaciais de amostragem.

40 40 Resultados Preliminares Reconstrução de superfícies através de funções de base radiais com suporte compacto Reconstrução de superfícies através de funções de base radiais com suporte compacto Subdivisão espacial Subdivisão espacial Construção da função interpolante Construção da função interpolante Poligonização Poligonização

41 41 Subdivisão espacial O espaço é subdividido por meio de uma octree O espaço é subdividido por meio de uma octree Critério de subdivisão: Quantidade de pontos por nó = L max Critério de subdivisão: Quantidade de pontos por nó = L max

42 42 Construção da função Interpolante Para cada nó da octree calculamos uma RBF com suporte compacto, com raio suporte igual a ¾ da diagonal do cubo do nó folha Para cada nó da octree calculamos uma RBF com suporte compacto, com raio suporte igual a ¾ da diagonal do cubo do nó folha Poucos pontos podem gerar funções ruins Poucos pontos podem gerar funções ruins Surgem falhas e artefatos indesejáveis Surgem falhas e artefatos indesejáveis Se a quantidade de pontos é insuficiente, aumentamos progressivamente o raio do suporte da função. Se a quantidade de pontos é insuficiente, aumentamos progressivamente o raio do suporte da função.

43 43 Cont. RiRi cici

44 44 Partição da unidade Depois que o domínio é dividido em subconjuntos não disjuntos i e calculada as funções locais s i usamos o método da partição da unidade. Depois que o domínio é dividido em subconjuntos não disjuntos i e calculada as funções locais s i usamos o método da partição da unidade.

45 45 Conclusões Acreditamos que um método híbrido que utilize funções de base radiais e manipulaçãode malha seja ideal para a modelagem à mão livre, satisfazendo os requisitos acima mencionados e capaz de criar modelos de superfícies que tenham formas arredondadas, bem como vincos e pontas.

46 46 Algumas questões Como obter características afiadas na interpolação e modelagem de superfícies usando funções de base radiais com suporte compacto? Como melhorar a performance da poligonização de tal modo que não sejam avaliados todos os vértices da grade? É possível conjugar abordagens como o método da partição da unidade com funções de base radiais com suporte compacto, e obter um comportamento da função como se tivesse suporte global?


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