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Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança

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Apresentação em tema: "Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança"— Transcrição da apresentação:

1 Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança
Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Sistemas e Computação - COPPE Aplicações de Funções de Base Radiais em Reconstrução de Superfícies e Modelagem Apresentado por: Disney Douglas Orientador: Claudio Esperança

2 Motivação

3 Roteiro Esquemas de Representação Funções de Base Radiais
Visualização e Poligonização Proposta de Trabalho Resultados Preliminares Conclusões

4 Esquemas de representação de superfícies
Representação Discreta Representação Paramétrica Representação Implícita

5 Representação Discreta
Vantagem: Capacidade de representar formas de topologia arbitrária com precisão arbitrária Desvantagens: Ocupam grande quantidade de memória e podem apenas aproximar objetos curvos

6 Representação paramétrica
Superfície representada por retalhos Descrita por equações paramétricas Exemplos Bézier Hermite cúbicos B-Splines NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) Vantagens: Podem representar superfícies suaves Podem amostrar superfícies em resolução arbitrária Desvantagem: Necessitam combinar muitos retalhos para objeto fechado

7 Representação Implícita
A superfície é um conjunto de nível (level set surface),ou seja, f -1(c) f(p) > 0 f(p) = 0 f(p) < 0

8 Rep. Implícitas (cont.) Vantagens Representam bem superfícies suaves
Podem ser avaliadas em resolução arbitrária

9 Reconstrução de Superfícies
Escaneamento 3D Renderização

10 Reconstrução

11 Problema de interpolação de pontos espalhados
Desejamos construir algum objeto Esquemas explícitos Usam Delaunay / Voronoi (Edelsbrunner / Amenta et al) Esquemas implícitos Método da Partição da Unidade (Ohtake et al) Moving Least Squares (MLS surfaces) (Alexa / Levin / Mederos et al / Xie et al / Amenta et Kil) Blobs (Bloomenthal / Buraki) RBFs (Turk & O’Brien / Ohtake et al / Carr, Beatson et al ) Conjuntos de nível (Level sets) (Zhao et al / Du & Qin)

12 Interpolação Thin-Plate
Dado um conjunto de n pontos {x1, …, xn} e um conjunto de valores da função {v1, …, vn}, obter uma função s: 3   tal que s(xi) = vi para i = 1 , … , n (1) “Suavidade”: (2)

13 Funções de Base Radiais
Uma função onde || . || denota a norma Euclideana é chamada uma função de base radial (RBF - Radial Basis Function), porque depende apenas da distância Euclideana entre os pontos x e xi. r = ||x – xi||

14 RBFs com suporte compacto
Funções de Wendland

15 Função de interpolação
A função de interpolação que satisfaz (1) e minimiza (2) pode ser expressa por:

16 Construção da função interpolante
O(n2) : espaço O(n2): operações Resolução: O(n2) : espaço O(n3): operações Onde ij = (xi – xj), ci = p(xi), vi = s(xi), i coef. RBF, a, b, c, d cef. polinômio.

17 RBFs O Sistema é mal condicionado RBFs com suporte compacto
Soluções numéricas: alguns erros para N muito grande Geralmente é resolvido por decomposição LU ou similar (lento) RBFs com suporte compacto São bem condicionados (matriz esparsa)

18 “Fast” RBFs Carr, Beatson & al
Redução dos centros (solução aproximada) Fast Multipole Method (Greengard & Rokhlin) Avaliação aproximada

19 Modelagem com RBFs Turk & O’Brien Usaram pontos de restrição
Pontos de fronteira: f(pi) = 0 Pontos normais: f(pj) > 0 Pontos interiores: f(pk) < 0 f > 0 f < 0 f = 0

20 Visualização de objetos implícitos - Pontos
Espalhamento dos pontos baseado em física Forças de atração na superfície (gradiente e sinal) Forças de repulsão garentem afastamento uniforme

21 Curvas de silhueta Definidas como o conjunto de curvas em que o produto interno da normal a superfície e a direção da visão é zero.

22 Curvas de nível Obtidas por interseção de planos perpendiculares à linha de visão

23 Renderização por polígonos
Aproximação linear por partes + algoritmos de rendarização

24 Ray Tracing Promove o acompanhamento de um raio de luz no sentido inverso Para cada pixel da imagem um raio é lançado Lento

25 Volumétrica - Ray Casting
Raios do ponto de vista de visão através de cada pixel são lançados no volume A comtribuição ao pixel é calculada intregrando a função de densidade ao longo do raio.

26 Poligonização Dado um campo escalar, i.e. f: 3   e uma constante c, obter uma aproximação linear por partes para a superfície f –1 (c) Principais questões Erros de aproximação Topologia correta Número de triângulos Qualidade dos triângulos

27 Algoritmos de poligonização
Algoritmo de continuação (Bloomenthal) Marching Cubes (Lorensen & Cline) Variantes Marching Tetrahedra (Treece & al) Marching Triangles (Hartmann) Dual Contouring (Gibson, Shaefer & Warren)

28 O sistema Teddy (Igarashi)
Modelagem baseada em traços Muitas operações são executadas através de traços (curvas) Criação Extrusão Corte Mistura Usa malha tradicional para representação Suavização usa a poligonização de Hoppe Recentemente introduziu uma “malha mais bonita” Objetos com topologia esférica

29 Forma livre com superfícies variacionais (Karpenko & al)
Parecido com o Teddy Usa interpolação thin-plate (RBFs) Visualização via poligonização Relaxa um pouco as restricões do Teddy Múltipla conexão dos componentes Superfícies ralmente suaves Principais Problemas É lento para modelos com muitos pontos Sem vincos e pontas (sharp features) Sem furos

30 Proposta Propomos um sistema híbrido de modelagem à mão livre onde se possa construir e editar objetos tridimensionais trabalhando com representações paramétricas e implícitas variacionais. Modelagem de superfícies por meio de traços Edição da malha da superfície Formas arredondadas Vincos e pontas

31 Operações de Modelagem
Criação Deformação Combinação Operações booleanas Mistura Outros Corte Escavação

32 Criação O usuário desenha a silhueta do objeto (curva fechada)
O sistema constrói o modelo 3D com base na silhueta inflando o polígono

33 Combinação (blending)
Uma curva é traçada para unir duas partes do Objeto As duas partes são unidas

34 Extrusão

35 Perfuração Projeta-se o traço do furo na parte frontal e traseira da superfície Usa-se as duas projeções p/ computar alguns pontos médios Adiciona-se um ponrto no “centro” que é avaliado como negativo Cria-se outro objeto Combinação

36 Edição - malhas Free-Form Modeling (Botsh & Kobbelt)
A superfície deformada pode ser moldada com rigidez de anisotropica A suavidade das deformaçõews variam de C0 a C2.

37 Free-Form modeling

38 Representação de malha híbrida (Allègre & al)
Opera com malhas paramétricas e implícitas Utiliza uma Hybrid-Tree (generalização de CSG-Tree)

39 Sistema Desejamos que o sistema tenha as seguintes característica
Baixa complexidade de avaliação/visualização, Baixo custo computacional para visualização, Pouco dependente das distribuições espaciais de amostragem.

40 Resultados Preliminares
Reconstrução de superfícies através de funções de base radiais com suporte compacto Subdivisão espacial Construção da função interpolante Poligonização

41 Subdivisão espacial O espaço é subdividido por meio de uma octree
Critério de subdivisão: Quantidade de pontos por nó = Lmax

42 Construção da função Interpolante
Para cada nó da octree calculamos uma RBF com suporte compacto, com raio suporte igual a ¾ da diagonal do cubo do nó folha Poucos pontos podem gerar funções ruins Surgem falhas e artefatos indesejáveis Se a quantidade de pontos é insuficiente, aumentamos progressivamente o raio do suporte da função.

43 Cont. Ri ci

44 Partição da unidade Depois que o domínio  é dividido em subconjuntos não disjuntos i e calculada as funções locais si usamos o método da partição da unidade.

45 Conclusões Acreditamos que um método híbrido que utilize funções de base radiais e manipulaçãode malha seja ideal para a modelagem à mão livre, satisfazendo os requisitos acima mencionados e capaz de criar modelos de superfícies que tenham formas arredondadas, bem como vincos e pontas.

46 Algumas questões Como obter características afiadas na interpolação e modelagem de superfícies usando funções de base radiais com suporte compacto? Como melhorar a performance da poligonização de tal modo que não sejam avaliados todos os vértices da grade? É possível conjugar abordagens como o método da partição da unidade com funções de base radiais com suporte compacto, e obter um comportamento da função como se tivesse suporte global?


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