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Capítulo 2 – Movimento Retilíneo 2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta Antes de.

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1 Capítulo 2 – Movimento Retilíneo 2.1 – Deslocamento, tempo e velocidade média Exemplo: Descrever o movimento de um carro que anda em linha reta Antes de mais nada, temos que: - Modelar o carro como uma partícula - Definir um referencial: eixo orientado e origem 0 x

2 0 x

3 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2

4 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3

5 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3 x4x4 t4t4

6 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3 x4x4 t4t4 x5=x5= t5t5

7 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3 x4x4 t4t4 x5=x5= t5t5 Deslocamento entre t 1 e t 2 : Velocidade média: Inclinação:

8 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3 x4x4 t4t4 x5=x5= t5t5 Entre t 3 e t 4 :

9 0 x t x1x1 t1t1 x2x2 t2t2 x3x3 t3t3 x4x4 t4t4 x5=x5= t5t5 Entre t 1 e t 5 : Atenção: Velocidade média não é a distância percorrida dividida pelo tempo

10 2.2 – Velocidade instantânea Qual a velocidade em um instante de tempo?

11 0 x (m) 20 1 Exemplo: t (s)2 5

12 0 x (m) 11,25 1 Exemplo: t (s)1,5 5

13 0 x (m) 11,25 1 Exemplo: t (s)1,5 5

14 0 x (m) 6,05 1 Exemplo: t (s)1,1 5

15 0 x (m) 1t (s) 5 Velocidade instantânea: Exemplo: Derivada de é Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico xt

16 Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : x t vxvx t

17 x t t No ponto de inflexão do gráfico xt, a velocidade é máxima (ou mínima) vxvx

18 Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : x t t No ponto de máximo (ou mínimo) do gráfico xt, a velocidade é nula vxvx

19 Obtendo a velocidade graficamente a partir do gráfico xt : x t t vxvx

20 x t t vxvx

21 Distinção entre velocidade (velocity) e velocidade escalar (speed) Velocidade escalar (média ou instantânea) é a distância percorrida dividida pelo tempo Para a velocidade escalar, usaremos o símbolo Sempre positiva Velocidade escalar instantânea é o módulo do vetor velocidade instantânea

22 2.3 – Aceleração instantânea e aceleração média Aceleração média: 0 v1xv1x t v2xv2x t2t2 t1t1

23 Aceleração instantânea: 0 v1xv1x t t1t1 Graficamente: inclinação da reta tangente no gráfico vt, curvatura no gráfico xt

24 Obtendo a aceleração graficamente a partir dos gráficos vt e xt : x t t axax t vxvx

25 2.4 – Movimento com aceleração constante t axax Se a aceleração é constante, então a aceleração instantânea é igual à aceleração média: Fazendo (velocidade inicial): t vxvx v0xv0x

26 Se a velocidade varia linearmente com o tempo, então a velocidade média em um intervalo de tempo é igual à media aritmética entre as velocidades inicial e final: t vxvx v0xv0x 0 = Áreas iguais

27 Assim: Sabemos que : t x x0x0 Inclinação:

28 Outra equação útil, para problemas que não envolvem o tempo: Substituindo em:

29 Equações do movimento com aceleração constante: Caso particular: aceleração nula

30 2.5 – Queda livre Aristóteles (séc. IV a.C.): Quatro Elementos (Água, Ar, Terra e Fogo), cada um com seu lugar natural. Corpos mais pesados deveriam cair mais rapidamente Galileu: Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências (1638), escrito em forma de diálogos

31 Salviati (Galileu): Aristóteles diz que uma bola de ferro de 100 libras, caindo de 100 cúbitos, atinge o solo antes que uma bala de uma libra tenha caído de um só cúbito. Eu digo que chegam ao mesmo tempo. Fazendo a experiência, você verifica que a maior precede a menor por 2 dedos; você não pode querer esconder nesses 2 dedos os 99 cúbitos de Aristóteles…

32 Resultados obtidos apenas através de argumentações lógicas são completamente vazios de realidade. Porque Galileu enxergou isso, e particularmente porque ele propagou repetidamente esta idéia pelo mundo científico, ele é o pai da física moderna – de fato, de toda a ciência moderna. Einstein

33 Demonstração: Experimento de Galileu com plano inclinado (trilho de ar)

34 Filme: queda livre na Lua (Apolo 15, NASA)

35 Aceleração da gravidade: g 9,8 m/s 2 y Equações da queda livre:

36 Medição de g: Vídeo Physics Demonstrations in Mechanics I.2 Método (1): Medição do tempo de queda por uma altura d partindo do repouso y y0y0 y

37 Método (2): Medição da velocidade após cair de uma altura d partindo do repouso y y0y0 y

38 2.6 – Velocidade e posição por integração Já sabemos calcular: Como resolver o problema inverso? Suponha que a aceleração varie com o tempo da seguinte forma: t axax 0 Vamos dividir o intervalo entre t 1 e t 2 em pequenos intervalos de duração Δt t1t1 t2t2 ΔtΔt Sabendo que, a variação da velocidade em cada intervalo é

39 t axax 0 t1t1 t2t2 ΔtΔt Sabendo que, a variação da velocidade em cada intervalo é Note que é a área do retângulo sombreado Desta forma, somando-se todas as pequenas variações de velocidade, obtemos a variação total de velocidade entre t 1 e t 2 como a soma das áreas de todos os retângulos.

40 t axax 0 t1t1 t2t2 No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva ΔtΔt Esta área é integral definida da função entre os instantes e

41 Se tomamos, então, de modo que: Podemos executar um procedimento completamente análogo a esse para obter o deslocamento a partir da velocidade: Desta forma, resolvemos o problema inverso: Por derivação Por integração A integral é a operação inversa da derivada

42 Próximas aulas: 6a. Feira 19/08: Aula de Exercícios (sala A-327) 4a. Feira 24/08: Aula Magna (sala A-343)


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