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Introdução à Álgebra Linear 2014.1 Aula 20: Autovalores e Autovetores.

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1 Introdução à Álgebra Linear Aula 20: Autovalores e Autovetores

2 Recapitulando: matriz de uma transformação linear Sejam T: VW uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3. Sejam A={v 1,v 2 } e B={w 1,w 2,w 3 } 1) Escrevemos os vetores T(v 1 ) e T(v 2 ) como combinação linear do vetores de B 2) Tomamos os escalares de T(v i ) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz [v]A[v]A [T(v)] B [T(v 1 )] B [T(v 2 )] B Matriz de T em relação as bases A e B

3 Matriz de uma transformação linear

4 Matriz de Mudança de Base Se considerarmos I: VV a transformação linear identidade, I(v)=v. Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos [I(v)] B = [v] A Ou ainda: [v] B = [v] A Matriz de mudança de base de A para base B O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

5 Autovetores e Autovalores Seja T:VV um operador linear. Um vetor v V, v0, é autovetor do operador T se existe λ IR tal que T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6) pode ser rescrito como Mv=λvMv=λv λv-Mv=0 ou ainda λIv-Mv=0 (λI-M)v=0. Determinar se operador T possui um autovetor v0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M. Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T. (6) (7)

6 Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos M é invertível Mv=0 tem somente solução trivial logo (λI-M)v=0 tem solução não trivial (λI-M) não é invertível, ou seja, det(λI-M)=0 Exemplo: (b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores associados a cada autovalor

7 Autovetores e Autovalores Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: a) A é invertível. b) Ax=0 só tem a solução trivial. c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é I n. d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1. f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1. g) det(A)0. h) A tem posto n. i) As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IR n. j) As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IR n. k) Zero não é um autovalor de A.


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