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Problema restrito dos 3 corpos Ana Knopfli 2º ano \ LMAC 18/5/2004 Seminário Diagonal.

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1 Problema restrito dos 3 corpos Ana Knopfli 2º ano \ LMAC 18/5/2004 Seminário Diagonal

2 1. Equações Diferenciais Uma equação diferencial é da forma (1) em que x = x(t) é função de uma variável real t e em que todas as suas derivadas x (i) são também calculadas em t. Exemplo:

3 1. Equações Diferenciais A equação (1) é de n-ésima ordem porque n é a maior ordem de derivação. Neste caso, resolver a equação equivale a resolver um sistema de n equações de 1ª ordem. Espaço de fase n-dimensional, com coordenadas x 1,…,x n. Exemplo: Equação de um oscilador simples (2ª ordem) Sistema de eqs. de 1º ordem

4 1. Equações Diferenciais Condições Iniciais Normalmente, a maioria das equações diferenciais tem um conjunto de soluções com infinitos elementos.

5 2. Movimento de n corpos F = m. a n corpos de massas m 1, …, m n 3 dimensões 3n equações de 2ª ordem 6n equações de 1ª ordem

6 n = 2 Multiplicando as eqs. por m 1 e por m 2 e somando-as obtém-se: Primitivando… 2. Movimento de n corpos

7 Movimento em torno de um corpo de massa M na origem

8 2. Movimento de n corpos

9 Há conservação de: Energia Momento Angular Vector de Laplace A órbita encontra-se num plano. Equação de uma cónica

10 2. Movimento de n corpos Para n = 3 já podem surgir movimentos bastante complexos… Um modo de obter soluções aproximadas é através de métodos computacionais: Método de Euler Método de Runge-Kutta Problema Restrito dos 3 corpos

11 3. Problema restrito dos 3 corpos Dois corpos movem-se em torno do seu centro de massa, com órbitas circulares. Um terceiro corpo que não influencia o movimento dos dois anteriores, mas que é atraído por eles, move-se no plano definido pelos mesmos. 2 equações de 2ª ordem sistema de 4 equações de 1ª ordem. sistema em R 4, com variáveis Como a energia é conservada: podemos considerar á órbita numa hipersuperfície de 3 dimensões.

12 3. Problema restrito dos 3 corpos Secção de Poincaré

13 3. Problema restrito dos 3 corpos

14 FIM


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