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Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa ESTÁTICA Forças e Equilibrio Ano Lectivo 2009-2010 Mónica Cruz.

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1 Faculdade de Arquitectura da Universidade Técnica de Lisboa ESTÁTICA Forças e Equilibrio Ano Lectivo Mónica Cruz

2 3. Resultante de um Sistema de Forças Concorrentes Duas forças F1 e F2 concorrentes num ponto, podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. A força R é designada por Resultante e obtém- se somando as forças F1 e F2. R ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

3 3.1 Lei do Paralelogramo Lei do Paralelogramo A resultante de duas forças complanares não paralelas é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas. ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

4 Analiticamente a adição das forças F 1 e F 2 faz-se recorrendo ao cálculo vectorial: ( 1 ) Considerando o referencial ortonormado xy representado na Figura onde o eixo x é paralelo à direcção da força F 1 tem-se: ( 2 ) Sendo o eixo x paralelo a F 1 tem-se: ( 3 ) ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

5 Elevando ao quadrado os dois membros das equações ( 4 ): Adicionando ordenadamente as equações anteriores tem-se: Simplificando: ( 5 ) Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) obtém-se: (na direcção x) (na direcção y) ( 4 ) ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

6 Considere-se agora o triângulo OAB cujos lados OA e AB são conhecidos. Aplicando o Teorema dos Cosenos para a determinação do lado OB obtém-se: Como a equação ( 6 ) pode simplificar-se: Ora sendo, a equação ( 7 ) pode reescrever-se na seguinte forma: Logo pode concluir-se da igualdade das equações ( 5 ) e ( 8 ) que a diagonal do paralelogramo desenhado com as forças nos lados adjacentes é a resultante dessas forças em intensidade, direcção e sentido. ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

7 3.2 Triângulo de Forças Princípio do Triângulo de Forças Desenhando duas forças complanares de forma sequencial, isto é, fazendo coincidir o final da primeira força com o início da segunda, o vector que une as extremidades livres das forças representa a resultante. ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

8 3.3 Polígono de Forças O Principio do Triângulo de Forças pode ser generalizado para qualquer número de forças concorrentes num ponto, passando a designar-se Polígono de Forças, já que a figura geométrica que se obtém não é um triângulo mas sim um polígono. O Triângulo de Forças não é mais que um caso particular do Polígono de Forças quando se pretende calcular a resultante de duas forças concorrentes. R ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

9 Quando se pretende calcular a resultante não de duas mas de n forças concorrentes num ponto, recorrendo à regra do paralelogramo, teria que se desenhar n-1 paralelogramos que correspondem ao cálculo de n-1 resultantes, n-2 são resultantes parciais e só a que se obtém no último paralelogramo corresponde ao pretendido, ou seja, à resultante do sistema de forças. R ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

10 Com o Método do Polígono de Forças, as forças são desenhadas sequencialmente, ou utilizando uma expressão anglo-saxónica head to tail, e a resultante do sistema de forças obtém-se desenhando a linha que une a extremidade inicial da primeira força à extremidade final da última força. Com este método obtém-se o resultado pretendido sem necessidade do cálculo de resultantes parciais. R ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

11 R Plano das Acções – Regra do Paralelogramo Plano das Forças – Polígono de Forças R R ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

12 F1F1 F2F2 F3F3 45º 30º F 1 =4.5kN F 2 =5.0kN F 3 =3.0kN Calcule a resultante do sistema de forças representado na figura: a) No plano das acções – Paralelogramo de Forças b) No plano das forças – Polígono de Forças Exercício de Aplicação ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

13 F1F1 F2F2 F3F3 45º 30º F 1 =4.5kN F 2 =5.0kN F 3 =3.0kN R 1-2 Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

14 R Resolução do Exercício - Paralelogramo de Forças F1F1 F2F2 F3F3 45º 30º F 1 =4.5kN F 2 =5.0kN F 3 =3.0kN R 1-2 ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio

15 R 1-2 R Resolução do Exercício - Polígono de Forças F1F1 F2F2 F3F3 R F1F1 F2F2 F3F3 45º 30º R 1-2 ESTÁTICA – Forças e Equilíbrio


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