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Sistemas e Sinais (LEIC) – Análise em Frequência Carlos Cardeira.

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Apresentação em tema: "Sistemas e Sinais (LEIC) – Análise em Frequência Carlos Cardeira."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Análise em Frequência Carlos Cardeira

2 Análise em Frequência Até agora a análise que temos feito tem o tempo como domínio. Até agora a análise que temos feito tem o tempo como domínio. As saídas podiam ser funções no tempo correspondentes a sinais discretos ou contínuos ou mesmo sequências de eventos. As saídas podiam ser funções no tempo correspondentes a sinais discretos ou contínuos ou mesmo sequências de eventos. Na análise em frequência, vamos ver os sinais não como funções do tempo mas sim como combinações de sinusoides Na análise em frequência, vamos ver os sinais não como funções do tempo mas sim como combinações de sinusoides A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as séries de Fourier A ferramenta de trabalho vai incidir sobre as séries de Fourier

3 Análise em Frequência As séries de Fourier permitem definir qualquer função periódica como combinações de sinusoides. As séries de Fourier permitem definir qualquer função periódica como combinações de sinusoides. A representação de sinais periódicos através de sinusoides está também na base de muitos trabalhos de compressão de sinais. A representação de sinais periódicos através de sinusoides está também na base de muitos trabalhos de compressão de sinais. Em sistemas lineares, se um sinal de entrada é uma sinusoide de determinada frequência, a saída é uma sinusoide da mesma frequência (a amplitude e a fase é que poderão variar). Em sistemas lineares, se um sinal de entrada é uma sinusoide de determinada frequência, a saída é uma sinusoide da mesma frequência (a amplitude e a fase é que poderão variar).

4 Análise em Frequência Um LTI pode ser caracterizado no tempo através da resposta impulsiva e também na frequência através da resposta em frequência. Um LTI pode ser caracterizado no tempo através da resposta impulsiva e também na frequência através da resposta em frequência. Veremos que a resposta em frequência é a transformada de Fourrier da resposta impulsiva. Veremos que a resposta em frequência é a transformada de Fourrier da resposta impulsiva. As respostas no tempo e na frequência estão relacionadas. As respostas no tempo e na frequência estão relacionadas.

5 Exponenciais complexas A melhor forma de estudar sinusoides é através das exponenciais complexas. A melhor forma de estudar sinusoides é através das exponenciais complexas. O apendice B apresenta um resumo dos sinais complexos, que deve ser lido para relembrar conceitos. O apendice B apresenta um resumo dos sinais complexos, que deve ser lido para relembrar conceitos.

6 Sinusoides Como vimos nos capítulos introdutórios vimos como as sinusoides representam sons. Como vimos nos capítulos introdutórios vimos como as sinusoides representam sons. Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota músical definida. Sin (2pi x 880t) corresponde a uma nota músical definida. O argumento do sin é um ângulo. O argumento do sin é um ângulo. Um ângulo mede-se em radianos. Um ângulo mede-se em radianos. 2pi tem unidades radianos, t é em segundos e a frequência mede-se em ciclos por segundo (Hz). Ciclos é adimensional pelo que o resultado é em radianos. 2pi tem unidades radianos, t é em segundos e a frequência mede-se em ciclos por segundo (Hz). Ciclos é adimensional pelo que o resultado é em radianos.

7 Sinusoides sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x pi x f, e mede-se em radianos por segundo. sin (wt) é uma representação mais simples. W=2 x pi x f, e mede-se em radianos por segundo. Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w em radianos por amostra. Se o tempo for discreto poderemos ter sin (2 x pi x f x n). n mede-se em amostras (multiplicado por delta daria o tempo). f mede-se em ciclos por amostra e w em radianos por amostra. O resultado final tem que dar sempre em radianos de modo a poder ser um argumento do som. O resultado final tem que dar sempre em radianos de modo a poder ser um argumento do som. Em Matllab é fácil ver as formas sinusoides dos sons e ouvi-las. Em Matllab é fácil ver as formas sinusoides dos sons e ouvi-las. Para quem sabe de música, é fácil fazer uma escala musical. Para quem sabe de música, é fácil fazer uma escala musical.

8 Sinusoides A soma de duas sinusoides não se parece com uma sinusoide. A soma de duas sinusoides não se parece com uma sinusoide. No entanto, a partir da soma das sinusoides é possível recuperar cada uma das suas componentes. No entanto, a partir da soma das sinusoides é possível recuperar cada uma das suas componentes.

9 Sinusoides e sons Os ouvidos conseguem distinguir sons de frequências diferentes. Os ouvidos conseguem distinguir sons de frequências diferentes. Os ouvidos não são sensíveis a diferenças de fase no sinal. Os ouvidos não são sensíveis a diferenças de fase no sinal. sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da mesma forma. sin (w x t) ou sin (w x t + phi) soam da mesma forma. Um atraso num sinal sinusoidal pode ser representado por um desvio de fase. Nem todos os sinais têm esta característica. Um atraso num sinal sinusoidal pode ser representado por um desvio de fase. Nem todos os sinais têm esta característica.

10 Sinusoides e sons Se tivermos um som composto por várias sinusoides e formos mudando a fase de um deles, a forma do sinal pode variar bastante mas o sinal ouvido é o mesmo. Se tivermos um som composto por várias sinusoides e formos mudando a fase de um deles, a forma do sinal pode variar bastante mas o sinal ouvido é o mesmo. Em imagens, qualquer diferença de fase é imediatamente reconhecida Em imagens, qualquer diferença de fase é imediatamente reconhecida

11 Sinusoides e Imagens No lab já vimos imagens que poderiam ser representadas por sinusoides. No lab já vimos imagens que poderiam ser representadas por sinusoides. Existe agora uma frequência vertical e uma frequencia horizontal que se mede em ciclos por amostra. Existe agora uma frequência vertical e uma frequencia horizontal que se mede em ciclos por amostra. As diferenças de fase são imediatamente reconhecidas. As diferenças de fase são imediatamente reconhecidas. Jpeg é uma representação da imagem em que se apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides. Jpeg é uma representação da imagem em que se apresentam apenas os coeficientes destas sinusoides.

12 Espectro Rádio Onda média vai de 535 a 1705 kHz com 10 Khz de largura de banda FM vai de 88 a 108 Mhz com 0,2 Mhz de largura de banda TV analógica tem 6 Mhz de largura de banda Com a TV digital terrestre, nos mesmos 6 Mhz seria possível transmitir muito mais canais.

13 Espectro Rádio A potência de emissão é limitada. A potência de emissão é limitada. Como a potência do sinal decai com o quadrado da distância, a mesma frequência pode ser reutilizada noutro local. Como a potência do sinal decai com o quadrado da distância, a mesma frequência pode ser reutilizada noutro local. Em frequências elevadas a queda de sinal com a distância é ainda mais notória. Em frequências elevadas a queda de sinal com a distância é ainda mais notória. As antenas de telemóveis usam frequências elevadas e são em grande número (tipicamente, uma em cada 2 km). As antenas de telemóveis usam frequências elevadas e são em grande número (tipicamente, uma em cada 2 km). Como o alcance é reduzido, podem repetir a mesma frequência alguns kilómetros depois. Como o alcance é reduzido, podem repetir a mesma frequência alguns kilómetros depois. Quando se muda de estação há um protocolo complexo (uma máquina de estados) para que as frequências mudem sem que o utilizador se aperceba. Quando se muda de estação há um protocolo complexo (uma máquina de estados) para que as frequências mudem sem que o utilizador se aperceba.

14 Sinais Periódicos Sistemas contínuos: Sistemas contínuos: Um sinal é periodico de periodo p se: Um sinal é periodico de periodo p se:

15 Sinais Periódicos e Sinusoides Sistemas discretos: Sistemas discretos: Um sinal é periodico de periodo p se: Um sinal é periodico de periodo p se:

16 Sinais Periódicos Em sistemas contínuos o periodo pode ter qualquer valor real (0.47 por exemplo). Em sistemas contínuos o periodo pode ter qualquer valor real (0.47 por exemplo). Em sistemas discretos o periodo apenas assumir valores inteiros uma vez que p+n tem que continuar a pertencer ao domínio de f. Em sistemas discretos o periodo apenas assumir valores inteiros uma vez que p+n tem que continuar a pertencer ao domínio de f.

17 Frequência fundamental Se um sinal tiver período p chama-se frequência fundamental ao valor 2pi/p Se um sinal tiver período p chama-se frequência fundamental ao valor 2pi/p A frequência fundamental mede- se em radianos/s uma vez que o período se mede em segundos A frequência fundamental mede- se em radianos/s uma vez que o período se mede em segundos

18 Frequência fundamental Sinais com a mesma frequência fundamental

19 Teorema fundamental Qualquer sinal periódico pode ser decomposto numa soma de sinusoides múltiplas da frequência fundamental. Qualquer sinal periódico pode ser decomposto numa soma de sinusoides múltiplas da frequência fundamental.

20 Frequência fundamental e harmónicas A primeira sinusóide é a da frequência fundamental. A primeira sinusóide é a da frequência fundamental. Às sinusoides multiplas desta, chamam- se harmónicas. Às sinusoides multiplas desta, chamam- se harmónicas. As harmónicas tem frequências multiplas da frequencia fundamental e têm amplitudes e fases diferentes. As harmónicas tem frequências multiplas da frequencia fundamental e têm amplitudes e fases diferentes. A 0 é a componente DC do sinal (o valor médio do sinal) A 0 é a componente DC do sinal (o valor médio do sinal)

21 Harmónicas As ondas triangulares como as quadradas apresentadas anteriormente (ou qualquer outro sinal periódico com a mesma frequência fundamental) podem ser representados pela soma de sinusoides, com as mesmas frequências embora as amplitudes e fases de cada harmónica sejam naturalmente diferentes. As ondas triangulares como as quadradas apresentadas anteriormente (ou qualquer outro sinal periódico com a mesma frequência fundamental) podem ser representados pela soma de sinusoides, com as mesmas frequências embora as amplitudes e fases de cada harmónica sejam naturalmente diferentes.

22 Exemplos

23 Exemplos

24 Sistemas Lineares Os sistemas lineares não alteram a frequência do sinal, podem apenas mudar a amplitude e a fase. Os sistemas lineares não alteram a frequência do sinal, podem apenas mudar a amplitude e a fase. Por exemplo, uma estação de emissão de rádio não é linear porque o sinal de voz não tem a mesma frequência do sinal de emissão. Por exemplo, uma estação de emissão de rádio não é linear porque o sinal de voz não tem a mesma frequência do sinal de emissão.

25 Sinais Finitos f(t) f(t) g(t) g(t) p ppp

26 Sinais finitos Seja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquer Seja f(t) um sinal finito (domínio finito) qualquer Seja g(t) a sua replicação infinita Seja g(t) a sua replicação infinita g(t) é periódico e pode ser representado por uma série de Fourier. O que quer dizer que a série de Fourier também representará o sinal f no seu domínio g(t) é periódico e pode ser representado por uma série de Fourier. O que quer dizer que a série de Fourier também representará o sinal f no seu domínio

27 Significado de A 0 Consideremos o desenvolvimento em série de fourier de um sinal: Consideremos o desenvolvimento em série de fourier de um sinal: Integrando ao longo de um período: Integrando ao longo de um período: Ou seja, A 0 é o valor médio do sinal Ou seja, A 0 é o valor médio do sinal

28 Exponenciais Complexas Apêndice B

29 Série de Fourir na forma exponencial

30 Sinais reais Suponhamos que o sinal é real Suponhamos que o sinal é real B k e B -k são necessáriamente complexos conjugados B k e B -k são necessáriamente complexos conjugados

31 Tempo Discreto Se f : inteiros reais for um sinal periódico (p>0 inteiros) e w0=2pi/p (rad/amostra): Se f : inteiros reais for um sinal periódico (p>0 inteiros) e w0=2pi/p (rad/amostra):

32 Tempo Discreto As unidades passam a radianos por amostra. As unidades passam a radianos por amostra. A soma é finita. O número de harmónicas é metade do período. A soma é finita. O número de harmónicas é metade do período.

33 Porquê p/2 ?

34 Frequência máxima Num sinal discreto a frequência máxima que se pode obter é pi rad/s (são necessárias 2 amostras para dar a volta completa) Num sinal discreto a frequência máxima que se pode obter é pi rad/s (são necessárias 2 amostras para dar a volta completa)

35 Sinais Discretos A vantagem é que com uma série finita se consegue a representação exacta de qualquer sinal. A vantagem é que com uma série finita se consegue a representação exacta de qualquer sinal. A frequência máxima que se pode obter corresponde a metade da frequência de amostragem. A frequência máxima que se pode obter corresponde a metade da frequência de amostragem. Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Khz o que permite ouvir frequências até 22 Khz. No telefone a frequência é de 8Khz o que indica que nunca se poderá ouvir um som de frequência superior a 4 Khz. Em CDs a frequencia de amostragem é de 44 Khz o que permite ouvir frequências até 22 Khz. No telefone a frequência é de 8Khz o que indica que nunca se poderá ouvir um som de frequência superior a 4 Khz.

36 Exemplos O sinal é periódico O sinal é periódico O período é 1/10 s O período é 1/10 s Wo=2xpi/p=20pi rad/s Wo=2xpi/p=20pi rad/s A0= 0 A0= 0 A1=1 phi1=0 A1=1 phi1=0 A2=0 phi2=0 … A2=0 phi2=0 … A5=1 A5=1

37 Exemplos O sinal não é periódico porque não há um mínimo múltiplo comum para os períodos O sinal não é periódico porque não há um mínimo múltiplo comum para os períodos

38 Exemplos

39 Exemplos

40 Representação em série de Fourier Qualquer sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier (uma fundamental e as suas harmónicas). Qualquer sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier (uma fundamental e as suas harmónicas). Pode-se fazer compressão da informação se em vez de se enviar o sinal no tempo, se enviarem apenas os coeficientes da série de Fourier. Pode-se fazer compressão da informação se em vez de se enviar o sinal no tempo, se enviarem apenas os coeficientes da série de Fourier.

41 Sinais Aperiódicos Um sinal de voz é tipicamente aperiódico. Um sinal de voz é tipicamente aperiódico. Pode-se pegar em troços do sinal (por exemplo 16 ms) e calcular a série de Fourier associada. Pode-se pegar em troços do sinal (por exemplo 16 ms) e calcular a série de Fourier associada. Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da Série de Fourier com ganhos de compressão. Em cada 16ms basta enviar os coeficientes da Série de Fourier com ganhos de compressão. O mesmo princípio aplicado a imagens está na origem do formato jpeg O mesmo princípio aplicado a imagens está na origem do formato jpeg

42 Lab 7 Mostra-se a decomposição em série de Fourier de vários sinais. Mostra-se a decomposição em série de Fourier de vários sinais. O cálculo dos coeficientes é dado no enunciado. O cálculo dos coeficientes é dado no enunciado. Mostra-se a representação dos sinais em frequência e no tempo. Mostra-se a representação dos sinais em frequência e no tempo.


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