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B ICENTENÁRIO DE N ASCIMENTO Évariste Galois Ana Cristina Vieira 11.11.11 MAT/UFMG.

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1 B ICENTENÁRIO DE N ASCIMENTO Évariste Galois Ana Cristina Vieira MAT/UFMG

2 Nascimento: 25 de outubro de 1811 Bourg-la-Reine, França. Pai: Nicholas Gabriel Galois Mãe: Adelaide Marie Demante Sua mãe foi sua única professora, ensinando-o literatura clássica, religião e filosofia, até Galois completar 12 anos. Seu pai era um importante homem na comunidade onde vivia e em 1815, foi eleito o prefeito de Bourg- la-Reine.

3 14 de Julho de 1789: Queda da Bastilha A monarquia de Luís XVI enfrenta dificuldades com a revolta dos franceses contra os privilégios da igreja e do estado. Desmoralizado por sua tentativa de fuga e por suas negociações com o estrangeiro, o rei perdeu completamente a popularidade. Foi condenado à morte, sendo guilhotinado em Segue-se um reino de terror com muitas batalhas políticas. A França começa a ter tempos melhores com a entrada de Napoleão Bonaparte como comandante do Exército Francês.

4 1800: Napoleão se tornou o primeiro Consul da França. 1804: Napoleão se tornou imperador da França. 1811: Auge do poder de Napoleão e do exército francês. 1812: Derrota de Napoleão na Rússia. 1813: Exílio de Napoleão na Ilha de Elba. 1815: Governo de Cem Dias de Napoleão na França e derrota na batalha de Waterloo. 1821: Morte de Napoleão, após 6 anos de exílio na ilha de Santa Helena. 1823: em 6 de outubro, Galois vai pela primeira vez ao Lycée Louis-le-Grand, ingressando como aluno da quarta série.

5 Lycée Louis-le-Grand

6 Duzentos anos antes... Século XVII: Análise Matemática Pierre Fermat Teoria de números (era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática). René Descartes Geometria Analítica: aplicações de métodos algébricos à geometria.

7 Gottfried Wihelm Leibniz Redescoberta independente do cálculo. Isaac Newton Problemas de Física: Origem do cálculo diferencial

8 Séculos XVII e XVIII Intuição, contradições e novas teorias analíticas. Somas infinitas como a soma abaixo: S = Por um lado: S = (3 - 3) + (3 - 3) = 0 Por outro lado: S = 3 + ( ) + ( ) = 3 O que conduz a resultados contraditórios. Ao se trabalhar com séries infinitas não era permitido esse tratamento, o que levou, a uma revisão crítica dos fatos fundamentais da matemática no século XVIII.

9 Augustin- Louis Cauchy 1789 – 1857 Definiu precisamente as noções de limite e integral definida. Iniciou a sistemática criação da teoria dos grupos.teoria dos grupos Professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris, deixou mais de 500 obras escritas. Rigor na Análise

10 Problema : Existência de solução geral de equações algébricas por meio de fórmulas em que aparecessem apenas operações de soma, multiplicação, divisão, potenciação com expoentes inteiros positivos e radicais. Nos fins do século XVII, já se sabia que equações de graus 2, 3 e 4 eram solúveis por radicais, ou seja, suas soluções podem ser expressas como acima descrito. Surgiu a seguinte questão: será que as equações de graus 5 em diante também admitem soluções gerais por meio de radicais?

11 Publicou trabalhos em , onde examinou criticamente todas as soluções das equações de graus 2, 3 e 4 conhecidas até sua época e demonstrou que seu êxito sempre se baseia em propriedades que não cumprem equações de graus superiores a 5. Joseph-Louis Lagrange

12 Século XIX Resolvem o problema, demonstrando que as equações de grau maior ou igual a 5 não podiam ser resolvidas por radicais. Niels Abel Evariste Galois

13 Galois não se envolveu em uma rebelião durante seu primeiro período na escola, de onde 40 alunos foram expulsos. Durante , Galois foi excelente na escola e ganhou vários prêmios. Em 1826, Galois teve que repetir o ano letivo pois seu trabalho em retórica não tinha a forma padrão. Primeiro dia de aula de Galois 06 de outubro de 1823 Le lycée Louis-le-Grand

14 Manuscritos Galois

15 Galois matriculou-se pela primeira vez em uma aula de matemática na classe de Monsier Vernier. Rapidamente, tornou-se totalmente absorvido pela matemática e o diretor de estudos observou: É a paixão pela matemática que o domina, eu acho que seria melhor para ele se seus pais lhe permitissem estudar nada mais que isso, ele está perdendo seu tempo aqui e não faz nada a não ser atormentar seus professores e sobrecarregar- se com os castigos. Fevereiro de 1827

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17 Em 1828 Galois, então com 17 anos, submeteu-se aos exames para ingressar na École Polytechnique mas os seus modos rudes e a falta de explicações na prova oral fizeram com que sua admissão fosse recusada. Na verdade, além dos motivos acadêmicos, Galois também desejava entrar para esta escola por causa dos fortes movimentos políticos que existiam entre os seus alunos.

18 Voltou ao Liceu Louis-le-Grand e envolveu-se nas aulas de matemática, agora na classe de Louis Richard. Se dedicava à matemática, cada vez mais interessado em suas próprias pesquisas e menos preocupado com as demais tarefas escolares. Ele estudou os assuntos do livro de Adrien Legendre, então professor catedrático na École Polytechnique e os tratados de Lagrange, se interessando profundamente nos problemas sobre soluções de equações por radicais.

19 Equações de grau 5 Em 1824, Abel demonstrou a insolubilidade de uma equação de grau 5. Ele divulgou seu trabalho na França de modo reduzido em panfletos e enviou para Gauss. Após alguns anos sem resposta sobre seu trabalho, Abel foi encorajado a expandir e clarear seu trabalho e em 1827 publicou Recherches sur les fonctions elliptiques no primeiro volume do Crelle's Journal. Abel nunca entendeu o descaso de Gauss mas sabe-se que o panfleto enviado foi encontrado fechado após sua morte.

20 Abril de 1829 Galois teve seu primeiro artigo matemático publicado sobre frações contínuas em Annales de Mathématiques. Em 25 de maio e 01 de junho deste mesmo ano, Cauchy apresentou à Academia de Ciências de Paris trabalhos de Galois sobre soluções de equações algébricas de grau primo.

21 02 de Julho de 1829 O pai de Galois comete suicídio. O novo sacerdote jesuíta de Bourg-la-Reine, não gostando das simpatias republicanas do prefeito, começou uma campanha para depô-lo. Escreveu uma série de versos vulgares ridicularizando membros da comunidade e os assinou com o nome do prefeito. O velho Galois não suportou passar por este escândalo e se enforcou em um apartamento em Paris situado a poucos metros do colégio de seu filho. A morte do velho Galois consolidou o apoio fervoroso de Évariste à causa republicana. Poucas semanas depois da morte de seu pai, Galois prestou novamente exames para ingressar na École Polytechnique e, mais uma vez, foi reprovado.

22 Outubro de 1829 Resignado, Galois entrou para a École Normale Superieure de Paris, que era um anexo do Liceu Louis-le-Grand e teve que preparar-se para os exames de bacharelado. 29 de Dezembro de 1829 Galois recebe o grau de bacharel.

23 Dezembro de 1829 Galois envia para a Academia de Ciências, através de Cauchy, trabalhos adicionais sobre a teoria de equações algébricas e é alertado por ele sobre um artigo póstumo de Abel (morto em 6 de abril de 1829) publicado em Bulletin de Férussac que contém interseções com parte de seu trabalho. Fevereiro de 1830 Galois melhora suas ideias e submete à Academia de Ciências um artigo sobre as condições sob as quais uma equação é solúvel por radicais para concorrer ao Grande Prêmio de Matemática da Academia. Este trabalho foi entregue ao secretário da Academia, Joseph Fourier.

24 Junho de 1830 Galois descobre que com a morte de Fourier, ocorrida em 16 de maio de 1830, seu trabalho não foi considerado para concorrer ao prêmio. Sentindo-se discriminado, Galois escreve então uma carta ao presidente da Academia de Ciências Siméon-Denis Poisson, sobre o desaparecimento de seu trabalho. O prêmio foi dado a Abel (postumamente) e a Carl Jacobi.

25 Julho de 1830 Revolução francesa: Rei Carlos X fugiu da França e as facções políticas lutaram pelo controle nas ruas de Paris. Os alunos de École Normale foram confinados ao dormitório. Galois foi impedido de lutar com seus companheiros e seu ódio e frustração dobraram quando os republicanos foram derrotados. Na primeira oportunidade, Galois publicou um ataque sarcástico contra o diretor do colégio, Monsier Guigniault, acusando-o de covardia, o que causou sua expulsão e uma futura extinção da carreira de matemático.

26 Dezembro de 1830 No fim de 1830, Galois teve ainda um de seus últimos trabalhos publicados em vida, um resumo em Annales de Gergonne. Após ser expulso da École Normale, Galois se alistou na Artilharia da Guarda Nacional, um ramo da milícia republicana. Em 31 de dezembro, a Artilharia da Guarda Nacional foi extinta por um decreto real quando o Rei Louis-Phillipe assumiu o trono.

27 Janeiro de 1831 Galois teve sua última publicação ainda em vida, uma carta sobre ensino da ciência na Gazette des Écoles e tenta retornar à matemática. Organizou aulas de álgebra de altíssimo nível e atraiu 40 estudantes para o primeiro encontro, após o qual o número rapidamente diminuiu. Galois foi convidado por Siméon-Denis Poisson a submeter a terceira versão de seu trabalho sobre equações algébricas à Academia e ele o fez em 17 de janeiro.

28 Maio de 1831 Galois continuava obsecado por suas causas republicanas e tentou atacar o Rei Louis-Phillipe durante um jantar no dia 9 de maio. Após o qual, Galois ficou preso até 15 de junho na prisão Sainte- Pélagie. Julho de 1831 Dia 14 de julho era o dia da Bastilha. Galois usava ilegalmente o uniforme da Artilharia da Guarda Nacional. Ele tinha um rifle carregado, várias pistolas e um punhal. Galois foi mandado novamente para a prisão Sainte-Pélagie.

29 Durante o período na prisão, Galois recebeu de Poisson o parecer de seu trabalho submetido à Academia de Ciências: Seus argumentos não são suficientemente claros nem suficientemente desenvolvidos para que seja possível julgar o rigor dos resultados. No entanto, Poisson encorajou Galois publicar um trabalho mais completo sobre seus resultados. Sentindo-se banido do mundo da matemática, ainda na prisão Sainte-Pélagie, Galois tentou cometer suicídio com um punhal e foi impedido pelos outros prisioneiros.

30 Abril de 1832 Galois escreve cartas para Stephanie, revelando-se apaixonado e esta demonstra querer distância. O nome de Stephanie aparece várias vezes em notas marginais de um dos manuscritos de Galois. Março de 1832 Uma epidemia de cólera afeta Paris e os prisioneiros, incluindo Galois, são transferidos para a pensão Sieur Faultrier. Lá, conhece Stephanie-Felice du Motel, filha de um médico.

31 Galois foi atingido no estômago. Ficou agonizando no chão e foi abandonado por por d'Herbinville. 31 de maio de 1832 Galois morre no Hospital Cochin. 30 de maio de 1832 Galois é desafiado para um duelo por um cidadão chamado Perscheux dHerbinville. A razão para este duelo nunca foi explícita mas claramente estava relacionada com Stephanie.

32 2 de Junho de 1832: Funeral de Galois A polícia acreditava que a cerimônia seria o foco de uma manifestação política e prendeu 30 amigos de Galois na noite anterior. Ainda assim, dois mil republicanos se reuniram para o enterro e estavam furiosos devido à crença cada vez mais forte de que Stephanie era uma sedutora usada para levar Galois a uma armadilha sendo supostamente dHerbinville seu noivo traído mas na verdade, a morte teve causas políticas. Hospital Cochin Em Paris local onde morreu Galois

33 Há uma lenda de que Galois passou a noite anterior ao duelo escrevendo tudo o que sabia sobre sua teoria, porém isto pode ter sido um exagero. Na verdade, na noite de 29 de maio de 1832, Galois escreveu uma carta ao seu amigo Auguste Chevalier solicitando que seus trabalhos fossem enviados a Gauss e Jacobi para que estes dessem opiniões sobre seus resultados. Carl Friedrich Gauss A carta de fato contém muito de matemática mas possivelmente, grande parte já devia ter sido escrita anteriormente por Galois.

34 Após a morte de Galois O irmão de Galois, Alfred, e Auguste Chevalier enviaram seus trabalhos a Gauss e Jacobi, entre outros matemáticos.

35 Meu querido amigo. Fiz novas descobertas em análise. A primeira se refere à teoria das equações do quinto grau e as outras, às funções integrais. Na teoria das equações pesquisei as condições para a solução de equações por radicais. Aprofundei esta teoria e descrevi todas as transformações possíveis em uma equação, mesmo ela não sendo resolvida por radicais. Todas as descobertas estão aqui, nestes três ensaios matemáticos. [...] não quero deixar suspeitas de que anunciei teoremas dos quais não tenho terminado. Por favor, peça a Gauss e a Jacobi para que dêem opiniões, não pela verdade, mas devido a importância desses teoremas. Espero que alguns homens achem valioso analisar esta misturada. Um abraço caloroso do amigo, E. Galois

36 Reconhecimento Apesar de Galois deixar registrado o desejo de ter as opiniões de Jacobi e Gauss sobre seu trabalho, não há nenhum documento com comentários destes matemáticos a este respeito. Setembro de 1843 Joseph Liouville anunciou para a Academia de Ciências que tinha encontrado nos artigos de Galois: …uma solução concisa e tão correta quanto profunda para este lindo problema: Dada uma equação irredutível de grau maior ou igual a 5, decidir se é ou não solúvel por radicais.

37 1846 Finalmente Liouville editou os artigos e os publicou no prestigioso Journal de Mathemátiques Pures et Appliquées. A resposta dos outros matemáticos foi imediata e impressionante. Galois tinha de fato formulado uma completa explicação de como se poderia obter soluções para equações do quinto grau. Primeiro ele classificara todas as equações em dois tipos: as que podiam ser solucionadas e as que não podiam. Então, para aquelas que eram solúveis, ele deduziu uma fórmula para encontrar as soluções das equações. Além disso, Galois examinou as equações de grau mais alto do que cinco e também identificou as que tinham soluções, provando o conhecido critério de solubilidade de Galois.

38 Os trabalhos de Galois demonstravam a grandeza de sua genialidade e originalidade. São neles onde aparece pela primeira vez a palavra grupo, cuja teoria foi formalizada posteriormente por Cauchy.

39 Os resultados desenvolvidos por Galois nestes artigos formam a chamada Teoria de Galois. Esta teoria só foi explicada de forma mais completa em 1870, com a publicação do livro Traité des Substitutions de Camile Jordan.

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