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ATP4 1 Aula 10 Grafos Planares. ATP4 2 Planaridade É possível levar gás, luz e água às três residências sem cruzamento de tubulações? Grafo planar: um.

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1 ATP4 1 Aula 10 Grafos Planares

2 ATP4 2 Planaridade É possível levar gás, luz e água às três residências sem cruzamento de tubulações? Grafo planar: um grafo G é planar se existir uma representação gráfica de G no plano sem cruzamento de arestas. GÁSLUZÁGUA K 4 é planar?

3 ATP4 3 Planaridade Grafos de Kuratowski: K 5 e K 3,3 K 5 : grafo não planar com o menor número de vértices K 3,3 : grafo não planar com o menor número de arestas

4 ATP4 4 Planaridade Propriedades em comum entre K 5 e K 3,3: 1. Ambos são regulares 2. Ambos são não planares 3. A remoção de uma aresta ou um vértice torna o grafo planar 4. K 5 é o grafo não-planar com o menor número de vértices e o K 3,3 com o menor número de arestas

5 ATP4 5 Planaridade TEOREMA: Qualquer grafo planar simples pode ter sua representação planar utilizando apenas linhas retas Região (ou face): uma representação gráfica planar de um grafo divide o plano em regiões ou faces. Cada região é caracterizada pelas arestas que a contornam. Região infinita: é a porção infinita do plano que não é contornada por arestas

6 ATP4 6 Planaridade TEOREMA (Fórmula de Euler): Seja G um grafo conexo planar com n vértices e e arestas. O número de faces do grafo é COLORÁRIO: Em um grafo simples, conexo e planar com n vértices, e arestas e f faces, tem-se que: Condição necessária, mas não suficiente para um grafo ser planar

7 ATP4 7 Homeomorfismo Dizemos que um grafo H é homeomorfo a G se H puder ser obtido de G pela inserção de vértices de grau 2 em pontos intermediários de suas arestas

8 ATP4 8 Detecção de Planaridade Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos puder ser contraído em K 5 ou em K 3,3 (WAGNER) Exemplo: Grafo de Petersen pode ser contraído em K 5. Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos for homeomorfo a K 5 ou em K 3,3 (KURATOWSKI) Exemplo: Grafo de Peterson

9 ATP4 9 Complemento vs. Planaridade Seja G um grafo não dirigido com n vértices e C(G) o seu complemento. Se n < 8, então G ou C(G) é planar Se n > 8, então G ou C(G) é não planar Se n = 8, nada pode ser dito –K 4,4 : Não-planar com Complemento Planar –K3,3 + {x,y}: Não-planar com Complemento Não-planar

10 ATP4 10 Planar e Hamiltoniano Todo grafo planar 4-conexo é hamiltoniano (Tutte) –Exemplo: icosaedro Grafo Planar Maximal: todas as faces são triângulares Triângulo separador: triângulo de arestas no grafo que não constitui uma face Todo grafo planar maximal que não possui triângulo separador é hamiltoniano (Whitney)

11 ATP4 11 Grafos Periplanares Um grafo é periplanar (opg) se todos os seus vértices estiverem na fronteira de uma mesma face Um grafo é um periplanar sss não possuir subgrafo homeomorfo a K 4 ou a K 2,3. Todo gpp 2-conexo é hamiltoniano MOP: todas as faces internas são triangulares: leque, serpentina, coroa K(mop) = 2


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