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Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais

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Apresentação em tema: "Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais"— Transcrição da apresentação:

1 Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais
1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física 3. Definição de constantes elásticas 3.1 Módulo de Young 3.2 Lei de Hook 3.3 Efeito de Poisson 3.4 Módulo de corte (distorção) 3.5 Módulo de volume 4. Definições ligadas ao comportamento do material 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5.1 Lei de Hook generalizada 5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas 7. Estados planos 8. Carga de temperatura 8.1 Carga de temperatura em estados planos 9. Materiais ortotrópicos 10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral 10.1 Cedência 10.2 Modelos para o cálculo

2 1. Justificação da existência das relações constitutivas
Resumo dos Capítulos 3-4: O MC exibe devido às solicitações: Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes 6 Equações deformações - deslocamento 3 Equações de equilíbrio [ ] { } f = + s × Faltam 6 equações Não há dependência da resposta do MC do tipo do material A ligação que falta são as equações que relacionam Chamam-se Equações constitutivas (6): é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC

3 análise geometricamente linear
2. Linearidade física Usa-se tensão nominal, ou seja a força aplicada sobre a área da secção transversal inicial Ensaio uniaxial Tracção de uma barra Rotura Cedência Limite de linearidade Extensão na direcção da carga aplicada análise fisicamente linear análise geometricamente linear Estudos que abrangem apenas a parte inicial do gráfico, onde a relação entre a tensão e a deformação é linear Análise linear Pode-se usar o princípio de sobreposição Carregamento 1 Carregamento 2 α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2)

4 3. Definição de constantes elásticas
declive inicial do gráfico tensão - deformação módulo de elasticidade: E = tgα unidade: Pa, GPa=109Pa 3.1 Módulo de Young Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos de tensão e de deformação E secante inicial E tangente E tangente inicial E secante Thomas Young ( )

5 Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
3.2 Lei de Hooke 3.3 Efeito de Poisson Robert Hooke ( ) Siméon-Denis Poisson ( ) Δh: variação da altura < 0 ΔL: variação do comprimento > 0 : coeficiente ou número de Poisson (sem unidade) extensão na direcção transversal à força aplicada extensão na direcção da força aplicada razão negativa 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível

6 3.4 Módulo de corte (distorção)
Assume-se a distribuição uniforme Ensaio de distorção (GPa) 3.5 Módulo de volume Módulo de “bulk” K (GPa) E, , G, K: constantes elásticas do material 4. Definições ligadas ao comportamento do material Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço) Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço) Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos

7 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
5.1 Lei de Hook generalizada [C]: matriz de rigidez de material [D]: matriz de flexibilidade de material [C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6) Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidade são compostas por números (parâmetros de material) sem dependência do estado actual de tensão ou deformação A homogeneidade implica que os parâmetros de material não dependem da posição A isotropia implica que os parâmetros de material não dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial A isotropia implica ainda que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem

8 são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico
5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade Pode-se provar que duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico E, , G, K: constantes elásticas do material Escolha mais comum em engenharia: Condição necessária e suficiente de isotropia Consequência da lei constitutiva Os princípios energéticos implicam, que os módulos tem que ser positivos

9 Constantes de Lamé Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé Gabriel Lamé,

10 Com as componentes do slide anterior pode se justificar
Outra possível composição do bloco 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7) parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volume parte desviatórica das tensões e das deformações : altera-se forma em volume inalterado Com as componentes do slide anterior pode se justificar a fórmula do K Partes volúmicas Soma das primeiras 3 equações

11 Partes desviatóricas Componentes fora de diagonal Componentes diagonais queremos provar relação verídica, prova está finalizada

12 Invariante, dobro da energia de deformação
Multiplicação “:“ significa “produto interno” entre matrizes Demonstração A prova da relação em cima é óbvia, se os termos “cruzados” davam zero o que também é fácil de mostrar, como As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partes volúmicas e desviatóricas

13 7. Estados planos Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z” a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos Tensão plana Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa (2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões) Apenas índices x, y e xy (invariante)

14 Estados planos não correspondem um a outro !!! Variação de temperatura
Deformação plana Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens (invariante) Estados planos não correspondem um a outro !!! 8. Carga de temperatura Afecta apenas componentes normais Coeficiente da expansão térmica ºC-1 ou deg-1 Variação de temperatura

15 Extensão térmica Deformação térmica Apenas componentes normais

16 8.1 Carga de temperatura em estados planos
Tensão plana Redução de 3D

17 Deformação plana Redução de 3D

18 9. Materiais ortotrópicos
Existem 3 direcções principais de ortotropia para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia De simetria Carga na direcção i matriz de rigidez pela inversão ambas sempre positivamente definidas direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação

19 Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno
10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes E tangente inicial descarga linear parte plástica, permanente parte elástica Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas

20 transição entre o comportamento reversível e irreversível
10.1 Cedência incompressibilidade após enfraquecimento, amaciamento, amolecimento endurecimento Mais rígido após a cedência plasticidade perfeita Menos rígido após a cedência Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência 10.2 Modelos para o cálculo C. rígido perfeitamente plástico C. elasto-perfeitamente plástico C. elasto-plástico com endurecimento


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