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Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais 1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física 3. Definição de constantes.

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1 Cap. 5. Comportamento mecânico dos materiais 1. Justificação da existência das relações constitutivas 2. Linearidade física 3. Definição de constantes elásticas 3.1 Módulo de Young 3.2 Lei de Hook 3.3 Efeito de Poisson 3.4 Módulo de corte (distorção) 3.5 Módulo de volume 4. Definições ligadas ao comportamento do material 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear 5.1 Lei de Hook generalizada 5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas 7. Estados planos 8. Carga de temperatura 8.1 Carga de temperatura em estados planos 9. Materiais ortotrópicos 10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral 10.1 Cedência 10.2 Modelos para o cálculo

2 3 Equações de equilíbrio 6 Equações deformações - deslocamento Resumo dos Capítulos 3-4: Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes O MC exibe devido às solicitações: A ligação que falta são as equações que relacionam Chamam-se Equações constitutivas (6): é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC 1. Justificação da existência das relações constitutivas Faltam 6 equações Não há dependência da resposta do MC do tipo do material 0f

3 Ensaio uniaxial Tracção de uma barra Limite de linearidade análise geometricamente linear Análise linear análise fisicamente linear Pode-se usar o princípio de sobreposição 2. Linearidade física Rotura Cedência Estudos que abrangem apenas a parte inicial do gráfico, onde a relação entre a tensão e a deformação é linear Carregamento 1 Carregamento 2 α(Carregamento 1) + β(Carregamento 2) Usa-se tensão nominal, ou seja a força aplicada sobre a área da secção transversal inicial Extensão na direcção da carga aplicada

4 declive inicial do gráfico tensão - deformação módulo de elasticidade: E = tgα unidade: Pa, GPa=10 9 Pa Thomas Young ( ) 3. Definição de constantes elásticas 3.1 Módulo de Young E tangente inicial E tangente E secante inicial E secante Análise fisicamente não-linear: módulos de elasticidade secantes ou tangentes usam-se juntamente com os incrementos de tensão e de deformação

5 3.3 Efeito de Poisson : coeficiente ou número de Poisson (sem unidade) Δh: variação da altura < 0 ΔL: variação do comprimento > Lei de Hooke razão negativa extensão na direcção transversal à força aplicada extensão na direcção da força aplicada Robert Hooke ( ) Siméon-Denis Poisson ( ) 0: não há variações transversais, 1/2: material incompressível

6 3.4 Módulo de corte (distorção) E,, G, K: constantes elásticas do material Assume-se a distribuição uniforme 3.5 Módulo de volume 4. Definições ligadas ao comportamento do material Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço) Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço) Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos (GPa) Módulo de bulk K (GPa) Ensaio de distorção

7 A isotropia implica ainda que as direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem 5.1 Lei de Hook generalizada Comportamento linear implica que as matrizes de rigidez e de flexibilidade são compostas por números (parâmetros de material) sem dependência do estado actual de tensão ou deformação [C]: matriz de rigidez de material [D]: matriz de flexibilidade de material [C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem Devido às simetrias podem-se escrever na forma matricial (6,6) 5. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear A homogeneidade implica que os parâmetros de material não dependem da posição A isotropia implica que os parâmetros de material não dependem da direcção, ou seja que são indiferentes do referencial

8 Pode-se provar que duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento do material isotrópico Condição necessária e suficiente de isotropia 5.2 Composição da matriz de rigidez e de flexibilidade Escolha mais comum em engenharia: E,, G, K: constantes elásticas do material Consequência da lei constitutiva Os princípios energéticos implicam, que os módulos tem que ser positivos

9 Constantes de Lamé Gabriel Lamé, Às vezes as relações constitutivas chamam-se de Lamé

10 parte volúmica das tensões e das deformações: altera-se volume parte desviatórica das tensões e das deformações : altera-se forma em volume inalterado Importante para a definição de energia de deformação (cap. 7) 6. Separação das partes volúmicas e desviatóricas Outra possível composição do bloco Partes volúmicas Soma das primeiras 3 equações Com as componentes do slide anterior pode se justificar a fórmula do K

11 Componentes diagonais Partes desviatóricas Componentes fora de diagonal queremos provar relação verídica, prova está finalizada

12 Invariante, dobro da energia de deformação Multiplicação : significa produto interno entre matrizes A prova da relação em cima é óbvia, se os termos cruzados davam zero o que também é fácil de mostrar, como As contribuições ao invariante separam-se directamente nas partes volúmicas e desviatóricas Demonstração

13 Tensão plana Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa (2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões) (invariante) Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do z a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos 7. Estados planos Apenas índices x, y e xy

14 Deformação plana Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens (invariante) Estados planos não correspondem um a outro !!! 8. Carga de temperatura Afecta apenas componentes normais Coeficiente da expansão térmica ºC -1 ou deg -1 Variação de temperatura

15 Apenas componentes normais Extensão térmica Deformação térmica

16 8.1 Carga de temperatura em estados planos Tensão plana Redução de 3D

17 Deformação plana Redução de 3D

18 Existem 3 direcções principais de ortotropia direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero De simetria Carga na direcção i - matriz de rigidez pela inversão - ambas sempre positivamente definidas 9. Materiais ortotrópicos Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia

19 Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes 10. Outras designações para comportamento dos MC mais geral Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas descarga linear E tangente inicialparte elástica Os estados das tensões e das deformações não dependem da história da aplicação das cargas Lei reversível com histerésis, c. elástico com atrito interno parte plástica, permanente

20 10.1 Cedência transição entre o comportamento reversível e irreversível Menos rígido após a cedência Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência endurecimento Mais rígido após a cedência enfraquecimento, amaciamento, amolecimento plasticidade perfeita incompressibilidade após 10.2 Modelos para o cálculo C. rígido perfeitamente plástico C. elasto-perfeitamente plástico C. elasto-plástico com endurecimento


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