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Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira 1. Pressupostos 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear.

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1 Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira 1. Pressupostos 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear 2.1 Condições no interior 2.2 Condições de fronteira 2.3 Tipos dos problemas de elasticidade 2.4 Condições iniciais 2.5 Desvantagens da formulação clássica 3. Métodos de resolução do problema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos 3.1 Método das forças 4. Resolução dos problemas simples 5. Princípio de Saint-Vénant

2 1. Pressupostos: Ou seja material linearmente elástico análise geometricamente linear Análise linear análise fisicamente linear ou seja a teoria dos pequenos deslocamentos, que implica: (i) a teoria das pequenas deformações, ou seja a linearidade de deformações em função de derivadas dos deslocamentos (ii) não se distingue a forma inicial da final do MC Caso clássico de análise não linear: problema de contacto lento e gradual aumento das cargas Análise estática Materiais não lineares ainda para peq. deformações: betão Elementos estruturais não lineares ainda para peq. deformações: cabos

3 2. Formulação clássica do problema de elasticidade linear 3 Equações de equilíbrio 6 Equações deformações - deslocamento 6 Equações constitutivas Encontrar campos de deslocamentos (3 componentes), de deformações (6 componentes) e de tensões (6 componentes) para as quais as 15 equações fundamentais (3 tipos) sejam satisfeitas em cada ponto interior do MC, 2.1 Condições no interior A análise com os pressupostos do slide anterior ou seja a análise linear estática costuma-se designar o problema de elasticidade linear que faz parte do conjunto dos problemas de valores de fronteira O problema de elasticidade define-se da seguinte maneira:

4 A necessidade das condições de fronteira é a consequência do facto, que as equações fundamentais são diferenciais Mais é válido Superfícies sem carga e sem deslocamentos impostos fazem parte da superfície com a carga de facto os conjuntos poderão ser sobrepostos desde que se relacionam às diferentes componentes Igualmente os campos das entidades incógnitas têm que satisfazer as condições de fronteira Geométricas Estáticas em cada ponto da superfície do MC, nomeadamente geométricas na parte da fronteira e estáticas na parte da fronteira 2.2 Condições de fronteira

5 2.5 Desvantagens da formulação clássica Exige-se demasiada continuidade, que restringe o número dos problemas que se podem resolver A tensão tem que ser contínua incluindo as primeiras derivadas (e. equilíbrio), que implica a deformação contínua incluindo as primeiras derivadas (e. constitutivas) e os deslocamentos contínuos até as segundas derivadas (e. deform. – deslocam.) Quando é preciso implementar as condições de compatibilidade, os deslocamentos têm que ter as derivadas de terceira ordem contínuas, o que aumenta a continuidade das tensões e das deformações até segundas derivadas Habitualmente assume-se o estado inicial sem carga, sem tensões e sem deformações, mas igualmente podem-se estudar casos com um campo de tensões iniciais imposto, ou com um campo de deformações iniciais imposto, que podem corresponder às deformações térmicas 1º problema de valores de fronteira 2º problema de valores de fronteira problema de valores de fronteira misto 2.3 Tipos dos problemas de valores de fronteira 2.4 Condições iniciais

6 3. Métodos de resolução do problema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos incógnita básica: = condições de equilíbrio em termos de deslocamentos Equações de Lamé + condições de fronteira em termos de deslocamentos geométricas estáticas Exemplo da primeira equação de 3 Gabriel Lamé,

7 Ponto de partida: Condições de compatibilidade 3.2 Método das forças incógnita básica: Não são precisas as condições de compatibilidade Resolvendo: Podem-se escrever na forma:é uma matriz de operadoresonde condições de equilíbrio, reordenação Eugenio Beltrami, Equações de Beltrami-Michell 6 = condições de compatibilidade em termos de tensões

8 John-Henry Michell ( ) + condições de fronteira em termos de tensão Resolvendo: pela integração Exemplo da primeira equação do primeiro bloco de 3 Exemplo da primeira equação do segundo bloco de 3 (difícil exprimir desta maneira as condições geométricas) do campo de deformação que é já compatível

9 Existe apenas o número finito dos materiais distintos, igualmente o número de interfaces entre os materiais diferentes é finito 4. Resolução dos problemas simples Há possibilidade de assumir a distribuição das tensões e das deformações uniforme em cada material distinto que forma o MC Como consequência desenvolvem-se apenas as componentes normais das tensões e das deformações Como consequência o campo de deslocamento é linear Aplicam-se apenas as cargas normais e o campo de temperatura Resolução a partir das condições de fronteira Interfaces Componente normal tensãodeformação perpendicular igualdiferente paralela diferenteigual

10 Cargas estaticamente equivalentes 5. Princípio de Saint-Vénant Os efeitos locais na zona de aplicação de cargas diminuem rapidamente com a distância, por isso as cargas aplicadas na realidade podem ser substituídas pelas cargas estaticamente equivalentes cargas cujas resultantes (força - binário) são iguais na secção transversal de aplicação Excepção: algumas cargas concentradas aplicadas em cascas Distribuição da tensão normal uniforme Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant,


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