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Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais 1. Energia de deformação interna 1.1 Definição e pressupostos adoptados 1.2 Densidade da energia de deformação.

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1 Cap. 7. Princípio dos trabalhos virtuais 1. Energia de deformação interna 1.1 Definição e pressupostos adoptados 1.2 Densidade da energia de deformação interna 1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta 1.4 Energia de deformação interna 2. Existência da solução do problema de elasticidade linear 3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear 4. Energia de deformação externa 5. Lei de conservação da energia 6. Energia potencial 7. Princípios variacionais 8. Princípio dos trabalhos virtuais 8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais 8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais 9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais

2 Energia acumulada no corpo elástico devido ao trabalho das forças externas, usa-se o termo acumulada porque no caso de elasticidade depois de remover as cargas, o MC volta ao seu estado inicial com a libertação desta energia 1. Energia de deformação interna 1. Comportamento do material elástico 2. Lento e gradual aumento das cargas 3. Campo de temperatura mantém-se constante (processo de deformação adiabático) Energia de deformação interna pode-se chamar energia potencial elástica ou energia potencial das forças internas 1.1 Definição e pressupostos adoptados Pressupostos W=0, estado inicial, sem carga, sem solicitações, estado natural Tem que se estabelecer um nível zero

3 1.2 Densidade da energia de deformação interna Densidade tem o sentido de por unidade de volume do material Lei constitutiva Densidade da energia complementar de deformação interna Adrien-Marie Legendre ( ) Transformação de Legendre Nas expressões costuma-se omitir a barra

4 George Green ( ) Equações constitutivas podem-se determinar a partir de energia de deformação 1.3 Caso particular: Lei constitutiva é representada pela recta Existem deformações iniciais da origem térmica Válido igualmente para a lei não-linear

5 Omitindo as deformações iniciais térmicas 1.4 Energia de deformação interna Energia complementar de deformação interna W é forma quadrática em termos da deformação W* é forma quadrática em termos da tensão

6 2. Existência da solução do problema de elasticidade linear Analogia c/ corpo rígido Equilíbrio Estável Energia potencial aumenta Equilíbrio Indiferente Energia potencial é igual Equilíbrio Instável Energia potencial diminui Para deslocar a esfera para assegurar a estabilidade do MC, ou seja para assegurar a existência da solução do problema de elasticidade é preciso que seja satisfeito W tem que ser forma quadrática, elíptica ou positivamente definida, ou seja o determinante da matriz de rigidez e de flexibilidade tem que ser positivo ou nulo Caso mais simples, lei constitutiva linear, não há deformações iniciais (cap. 6) Condição necessária

7 3. Unicidade da solução do problema de elasticidade linear Designa-se: Analisa-se: Pressuposto: existem duas soluções diferentes do mesmo problema de valores de fronteira Prova pela contradição Equações Deformações - deslocamentos Equações Constitutivas Equações de Equilíbrio

8 Émile Clapeyron ( ) Teorema de divergência Teoremas em analogia com a integração por partes Teorema de Clapeyron ou de Green & Extensão para 3D

9 Voltando a prova de unicidade da solução (Teorema de Clapeyron) Quando No 1º problema de valores de fronteira as soluções de deslocamento diferem pelo movimento de corpo rígido (as cargas tem que assegurar o equilíbrio global) & + Condições de fronteira

10 4. Energia de deformação externa = trabalho das forças externas Ex.: Uma força concentrada assumindo que o deslocamento aumenta proporcionalmente com o aumento da força: P=kw e w=P/k Caso geral Impostos

11 Quando as condições geométricas são homogéneas, ou seja Quando as condições estáticas são homogéneas e as forças de volume nulas 6. Energia potencial Energia potencial das forças exteriores Energia potencial complementar das forças exteriores Energia potencial = - trabalho mecânico no sistema conservativo 5. Lei de conservação da energia

12 Energia potencial total Energia potencial complementar total Deslocamentos geometricamente admissíveis 1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes 2. satisfazem as condições de fronteira geométricas 3. deformações admissíveis calculam-se usando as relações deformações - deslocamentos Tensões estaticamente admissíveis 1. são contínuos e derivadas são contínuas em partes 2. satisfazem as condições de fronteira estáticas 3. satisfazem as condições de equilíbrio

13 7. Princípios variacionais Princípio de Lagrange Princípio de Castigliano De todos os campos dos deslocamentos (e das deformações) geometricamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional De todos os campos das tensões estaticamente admissíveis acontece aquele, que dá mínimo ao funcional Carlo Alberto Castigliano ( )

14 8. Princípio dos trabalhos virtuais Deslocamentos geometricamente admissíveis Tensões estaticamente admissíveis Sem qualquer ligação entre si pelas relações constitutivas Prova directamente pelo teorema de Clapeyron Virtual = não real, mas não precisa de ser infinitesimal

15 8.1 Princípio dos deslocamentos virtuais Real, ou seja estaticamente admissível Deslocamento virtual PTV para Real, ou seja geometricamente admissível geometricamente admissível

16 8.2 Princípio das forças (tensões) virtuais Real, ou seja geometricamente admissível PTV para Tensão virtual Real, ou seja estat. admiss. E. adm.

17 9. Ligação do Princípio dos trabalhos virtuais aos Princípios variacionais Princípio de Lagrange PDV Princípio de Castigliano PFV geometricamente admissível real estaticamente admissível real


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