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Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial, aplicação aos momentos de inércia 1. Quantidades físicas 1.1 Tipos das quantidades físicas 1.2 Descrição.

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1 Cap. 1. Tensores cartesianos, cálculo tensorial, aplicação aos momentos de inércia 1. Quantidades físicas 1.1 Tipos das quantidades físicas 1.2 Descrição matemática dos tensores 1.3 Definição dos tensores 2. Álgebra tensorial 3. Tensores cartesianos em 2D simétricos 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores 3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem 3.3 Valores próprios 3.4 Circunferência de Mohr Convenções e consequências Determinação dos valores e das direcções principais Determinação das componentes para uma rotação arbitrária Determinação do referencial ligado a componentes especificadas 3.5 Verificações dos valores principais 3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções 4. Tensores cartesianos em 3D simétricos 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais 4.2 Determinação e propriedades 4.3 Casos particulares 4.4 Valores extremos fora de diagonal 4.5 O tensor de inércia 5. Análise tensorial

2 1. Quantidades físicas Escalares Vectores Tensores de segunda ordem... Tensores de ordem zero Tensores de primeira ordem Tensores de segunda ordem Tipos das quantidades físicas Escalares 1 dado é suficiente para a descrição completa Exemplos: temperatura, massa, densidade, tempo

3 Representação geométrica Vectores direcção intensidade sentido O vector é plenamente determinado quando sabemos: Sentido Ponto de aplicação Direcção Intensidade É preciso 3 dados para a descrição completa Exemplos: força, deslocamento, velocidade, aceleração

4 Tensores de segunda ordem O tensor de segunda ordem é plenamente determinado no ponto P quando sabemos 3 vectores de pontos de aplicação P, actuantes Em 3 planos diferentes, não paralelos, que se intersectam no P É preciso 9 dados para a descrição completa Representação geométrica dos tensores... mais tarde de acordo com o significado físico Neste caso falou-se de um vector livre, ou seja de um vector no sentido matemático Da disciplina Estática já sabemos que de acordo com a aplicação particular é preciso distinguir vectores de 3 tipos Livre (exemplo: vector associado a um binário) Deslizante ou seja fixo à sua linha de acção (exemplo: força na mecânica dos corpos rígidos) Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicação (exemplo: força na mecânica dos corpos deformáveis) Exemplo: tensão, deformação, tensor de momentos de inércia Tensores de quarta ordem Exemplo: tensor de rigidez e de flexibilidade

5 1.2 Descrição matemática dos tensores A descrição matemática dos tensores baseia-se em 3 n em 3D2 n em 2D onde n corresponde à ordem do tensor necessárias para a descrição completa dos tensores: Euclid (ca. 325-ca. 270 BC) Espaço Para poder definir as componentes, é preciso definir o espaço e o referencial Espaço de Euclid: 1D, 2D, 3D Também chamado espaço cartesiano 1D – espaço dos números reais mD – espaço de combinações de m números reais componentes Número de componentes

6 Sistema de coordenadas ou referencial Três eixos rectos mutuamente perpendiculares Vectores base têm a norma unitária Nas nossas aplicações sempre directo Verificação de acordo com a regra da mão direita Dedos de x para y Polegar mostra orientação positiva de z Dedos de y para z Polegar mostra orientação positiva de x Dedos de z para xPolegar mostra orientação positiva de y René Descartes ( ) Referencial cartesiano: É preciso introduzir para poder efectuar representações geométricas É definido pela origem 0 e pelos vectores base Permutação positiva

7 vectorial matricial Vectores Vectortem componentes Representação matemática Representação geométrica

8 Tensores de segunda ordem Representação matemática das componentes na forma matricial Representação geométrica mais tarde de acordo com o significado físico 3D 2D

9 1.3 Definição dos tensores A quantidade física chama-se tensor quando as suas componentes obedecem a lei de transformação. Esta lei descreve cálculo das componentes no referencial transformado Tensores cartesianos Tensores cartesianos são tensores definidos no referencial cartesiano, consequentemente a lei de transformação é especificada apenas no referencial cartesiano e representa a rotação do referencial Para quantidades físicas as componentes são números e são relacionadas a uma dada posição (ponto) Campos físicos Quando as quantidades físicas são funções de posição, chamamos-lhes Campo escalar Campo vectorial Campo tensorial de segunda ordem... Exemplo: campo vectorialtem componentes ; temos assim:

10 2. Álgebra tensorial Coincide com o cálculo matricial e vectorial até tensores de segunda ordem Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte simétrica e antissimétrica Tensor simétricoTensor antisimétrico A propriedade mantém-se, qualquer que seja o referencial Tensores cartesianos de segunda ordem Cada tensor pode ser escrito como soma da sua parte esférica (isotrópica, volúmica) e desviatórica (tangencial); usa-se para tensores simétricos Valor médio

11 Introduz-se a rotação do referencial 0xy para 0xy e calculam-se as componentes no referencial rodado 3.1 Derivação da lei de transformação para vectores 3. Tensores cartesianos em 2D simétricos Matriz de transformação ou de rotação linhacoluna

12 é matriz ortogonal Quando a rotação se efectua do referencial direito para o direito Componentes dos vectores base do novo referencial, ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos rodados formam as linhas da matriz Algumas propriedades da matriz ortogonal : o determinante é positivo Outras propriedades das matrizes ortogonais: Produto interno das linhas ou colunas iguais (diferentes) equivale a 1 (0)

13 3.2 Lei de transformação para tensores de segunda ordem Tensores de ordem maior É preciso usar designação indicial que não será dada A prova será dada no Cap. Tensão para se poder usufruir o significado físico Nota: Voltando aos tensores de segunda ordem e desenvolvendo as multiplicações, as componentes no referencial rodado escrevem-se:

14 Verifica-se, que existe uma rotação do referencial original de tal maneira que os novos valores diagonais corresponderão ao máximo e ao mínimo de todos os possíveis valores diagonais e que para esta rotação a componente fora de diagonal anula-se O máximo e o mínimo dos valores diagonais chamam-se valores próprios A resolução pode ser facilmente exprimida analiticamente e determinada de três maneiras equivalentes: 1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos posteriores) 2. Encontrar o máximo e o mínimo dos valores diagonais 3. Encontrar a rotação para a qual Usando funções trigonométricas de ângulos duplos, igualmente: 3.3 Valores próprios

15 Usando o ponto 2: Usando o ponto 3: Igualmente para Substituindo pelo nas equações das componentes rodadas, conclui-se, que:

16 O que significa que as componentes no referencial principal são Depois de terminar os cálculos é preciso decidir qual dos eixos rodados corresponde ao eixo do máximo e qual ao eixo mínimo. Pode-se provar uma regras simples desenhada na figura ao lado. Os eixos do máximo e do mínimo definem o referencial principal. ou

17 Cristian Otto Mohr ( ) 3.4 Circunferência de Mohr Relações em cima são equações de uma circunferência o que significa que e raio quando desenham-se no eixo horizontal e no eixo vertical de centro Pela substituição verifica-se facilmente: As componentes de um tensor, relacionadas a todas as possíveis rotações do referencial original formam uma circunferência

18 Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa corresponde a e a ordenada a Torna-se útil introduzir a designação seguinte: A faceta e a normal à faceta A faceta corresponde a uma recta (um corte) onde actuam duas componentes do tensor considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo índice como a normal à faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal, que tem dois índices) Os valores principais visualizam-se no diâmetro principal, dado que neste caso a componente fora da diagonal é igual a zero e as componentes normais atingem o máximo e o mínimo; este facto não está influenciado pelo referencial inicial A faceta e a normal à faceta são mutuamente perpendiculares

19 Cada ponto da circunferência corresponde às componentes intrínsecas do vector na faceta correspondente Componente normal, diagonal Componente tangencial, fora da diagonal o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Esta representação geométrica será igual para o tensor das tensões, mas diferente para o tensor das deformações Facetas positivas Facetas negativas Componentes tangenciais apontam para os quadrantes positivos

20 Assumindo que o referencial original é principal, ou seja que: negativo Convenções e consequências e introduzindo a rotação

21 A rotação na circunferência faz-se pelo dobro do ângulo de rotação dos eixos -uma rotação de 90º faz-se na CM de 180º o que troca a posição (x´) e (y) -uma rotação de 180º faz-se na CM de 360º e não altera nada consequentemente o sentido dos eixos nesta representação é indiferente -para ponto (x) ou (x) a ordenada vertical tem sentido oposto (para baixo) -para ponto (y) ou (y) a ordenada vertical tem sentido habitual (para cima) -as componentes normais desenham-se na convenção habitual As componentes do tensor para a mesma rotação visualizam-se nos pontos opostos do diâmetro. (x) designa componentes na faceta de normal x e (y) designa componentes na faceta de normal y Define-se Faceta (x): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado x Faceta (y): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado y A convenção dos sinais Para se manter o mesmo sentido de rotação

22 Orientação das componentes tangenciais determina a posição do ponto na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial horário, negativo Convenção alternativa anti-horário, positivo

23 3.4.2 Determinação dos valores e das direcções principais o referencial original Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais Justificação das fórmulas Sentido de rotação componentes positivas

24 Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais, normais Correspondência com a origem do referencial

25 Propriedades das circunferências conhecidas do ensino secundário Achar centro de uma circunferência sabendo 3 pontos que pertencem a esta circunferência

26 3.4.3 Determinação das componentes para uma rotação arbitrária Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais componentes positivas

27 3.4.4 Determinação do referencial ligado a componentes especificadas Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais componentes positivas

28 R = máximo da componente fora da diagonal, neste caso as componentes diagonais não se anulam, ambas têm o valor T m Rotações de 45º a partir do referencial principal

29 InvariantesReferencial originalReferencial principal Depois da resolução dos valores principais convém verificar os invariantes 3.5 Verificações dos valores principais Invariantes Escalares que não alteram o seu valor com a rotação do referencial são invariantes fundamentais, também chamados invariante linear e quadrático todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores próprios são igualmente invariantes

30 O referencial introduzido é arbitrário, convém fazê-lo na forma mais vantajosa Sabemos:, incógnitas: 3.6 Determinação das componentes sabendo valores em 3 direcções Resolver Cada tensor tem 3 componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de referenciais diferentes, permitem sempre determinar as componentes. O caso em baixo tem uma aplicação útil nas medições de deformações e além disso permite uma resolução gráfica simples

31 Resolução gráfica Desenho auxiliar a recta com ponto arbitrário está na vertical arbitrário Esboço dos eixos na posição original Prova

32 arbitrário Esboço dos eixos na posição original

33 4.1 Valores e vectores próprios ou valores e direcções principais A solução não trivial para {v} existe apenas quando Os números λ que asseguram a nulidade do determinante chamam-se Substituindo valor próprio pelo λ, (Eq. 1) tornam-se linearmente dependentes e por isso o número das soluções para componentes {v} é infinito (Eq. 1) (Eq. 1) corresponde a 3 equações algébricas lineares homogéneas 4. Tensores cartesianos em 3D simétricos Definição matemática valores próprios ou principais As soluções não triviais para {v} chamam-se vectores ou direcções próprios ou principais

34 4.2 Determinação e propriedades são reais (pode-se provar devido a simetria do tensor) são 3, contudo podem ser múltiplos calculam-se como raízes de equação característica Valores principais são invariantes fundamentais, também chamados invariante linear, quadrático e cúbico todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores próprios são igualmente invariantes

35 Direcções principais Cálculo das raízes da equação característica: Valores próprios correspondem às componentes do tensor relacionadas a um referencial, relativamente a qual todas as componentes fora de diagonal se anulam e os valores próprios visualizam-se na diagonal Forma canónica de matriz de componentes O máximo dos valores próprios é o máximo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial O mínimo dos valores próprios é o mínimo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial A rotação do referencial ou seja o referencial novo mencionado acima está definido pelos vectores próprios

36 A matriz de transformação de base [B] tem colunas formadas pelos vectores próprios normalizados, ou seja a matriz de transformação [R] tem linhas formadas pelos vectores próprios normalizados, para assegurar que o referencial novo será direito, é preciso ter o det([B])=1 A solução é única, por isso encontrando a matriz de coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial é formado pelos vectores próprios e que os valores na diagonal são principais, um deles máximo e um deles mínimo Depois de calcular valores próprios, usa-se o sistema de equações (Eq. 1) com cada um valor próprio substituído para calcular o vector próprio correspondente Quando valores próprios são diferentes, a cada um correspondem infinitas soluções do vector principal correspondente, que formam uma única direcção no espaço. Assumindo o vector normalizado, existem apenas duas soluções que diferem pelo sentido. Pode-se dizer que existem apenas 3 vectores próprios normalizados, unicamente definidos excepto do sentido, mutuamente perpendiculares. Estes vectores definem o novo referencial, relativamente a qual a matriz de componentes é diagonal, ou seja relativamente a qual as componentes do tensor são valores próprios

37 4.3 Casos particulares No caso particular da figura ao lado, vectores (2) e (3) não são unicamente definidos. Todos os vectores que satisfazem a Eq. (1) com o valor λ 2 = λ 3 substituído, formam um plano, cuja normal coincide com a direcção (1) qualquer direcção é principal, a matriz de componentes inicial já é diagonal com valores iguais Simplificação para o caso 2D Já é valor principal Vector principal correspondente: Valor duplo Valor triplo É possível sempre quando se anulam as componentes fora de diagonal

38 4.4 Valores extremos fora de diagonal Invariantes no referencial principal Usando as conclusões de 2D Círculo de Mohr Círculos fundamentais Depois da resolução dos valores e direcções principais convém verificar os invariantes e a ortogonalidade de vectores próprios Verificações

39 Nota sobre 2D O procedimento de cálculo poderá ser feito de maneira análoga como em 3D 4.5 O tensor de inércia Justificação da posição dos eixos principais 5. Análise tensorial Análise dos campos tensoriais derivadas, teoremas integrais, etc...


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