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1 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. Variáveis aleatórias.

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1 1 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. Variáveis aleatórias

2 2 Variável aleatória u Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral. u X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

3 3 Exemplos de variáveis aleatórias u Vida útil (em horas) de um televisor; u Número de peças com defeito em um lote produzido; u Número de veículos que passam num pedágio num determinado dia; u Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

4 4 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico. Variáveis aleatórias

5 5 Tipos de variáveis aleatórias 1.Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Ex: número de mulheres em uma sala de aula; 2.Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado. Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

6 6 Variáveis aleatórias variável aleatória discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais número de defeitos em... tempo de resposta de...

7 7 Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas Modelos de Distribuição de Probabilidade Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas

8 8 Experimento binomial u consiste de n ensaios; u cada ensaio tem somente dois resultados: sucesso /fracasso; u os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p (0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios); ====> X = número de sucesso nos n ensaios

9 9 Exemplos u Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda; u Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças de uma linha de produção (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).

10 10 Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais EXEMPLO 1 Seja: X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p; X = {0, 1, 2, 3} P(X=1)=?

11 11 Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Seja: Cara = C Coroa = K X = 0 se ocorrer KKK; X = 1 se ocorrer CKK, KCK ou KKC; X = 2 se ocorrer CCK, CKC ou KCC; X = 3 se ocorrer CCC;

12 12 Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais P(X = 1) = 3 p (1 - p) 2 P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC) Como: P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p) 2

13 13 Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Analogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3) P(X=0)= (1-p) 3 P(X=1)= 3p(1-p) 2 P(X=2)= 3p(1-p) 2 P(X=3)= 3p 3 P(X=0)= 1 p 0 (1-p) 3 P(X=1)= 3 p 1 (1-p) 2 P(X=2)= 3 p 2 (1-p) 1 P(X=3)= 1 p 3 (1-p) 0 Número de maneiras distintas de se obter x caras em 3 lançamentos de moedas

14 14 De uma maneira geral: No nosso caso em particular n = 3: Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais

15 15 Cálculo das probabilidades em experimentos binomiais Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular P(X=1)

16 16 O modelo binomial Para um n qualquer

17 17 1. Qual é o 11 o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e? (a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5 2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993? (a) (b) (c) (d) Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte- americanas entre 1990 e 1991? (a) (b) (c) (d) Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991? (a) (b) (c) (d) Tente adivinhar as respostas e = Quantos verbetes há no dicionário Aurélio? (a) (b) (c) (d)

18 18 Resultados do teste Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x. Que tipo de experimento acabamos de realizar? Quais são os valores de n, p e q? n=5, p=0,25, q= 0,75 Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5} As respostas corretas são: 1. d 2. a 3. b 4. c 5. b

19 19 Probabilidades binomiais Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. P(X=3) = 0,088P(X=4) = 0,015P(X=5) = 0,001 Verifique que a soma das probabilidades e igual a 1

20 20 Probabilidades binomiais Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste. P(3) = 0,088P(4) = 0,015P(5) = 0,001 P(X=0)=0,237 P(X=1)= 0,396 P(X=2)= 0,264

21 21 Probabilidades binomiais Esperança e variância!!!!

22 22 Média ou Esperança Matemática u Média u Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial: E(X) = np

23 23 Variancia u Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial: var(X) = npq

24 24 Exercicios Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia, qual é a probabilidade que a) todos sobrevivam; b) ninguém sobreviva; c) nove ou mais sobrevivam; d) no mínimo oito sobrevivam? Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar distribuição binomial?


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