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MATRIZES Sejam, por exemplo, as matrizes: XM 1 + YM 2 + ZM 3 + WM 4 = MIsto resultará no sistema: Que equivale à equação matricial 3 1 2 4 0 1 2 3 0.

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3 MATRIZES Sejam, por exemplo, as matrizes: XM 1 + YM 2 + ZM 3 + WM 4 = MIsto resultará no sistema: Que equivale à equação matricial M 1 =M 2 =M 3 = M 4 = Para escrever a matriz na base acima, tem-se: a b c d M = XYZWXYZW abcdabcd x = Cada matriz se transforma no vetor (a 11, a 12, a 21, a 22 ) que, na equação matricial, se escreve em colunas. 3X + 4Y + 2Z + 1W = a 1X + 0Y + 2Z + 2W = b 2X + 1Y + 3Z + 5W = c 2X + 1Y + 0Z + 6W = d

4 POLINÔMIOS Cada base de um espaço vetorial de polinômios de grau n é formada por n + 1 polinômios. Por exemplo: Para polinômios de grau 3, pode ser tomada como base o conjunto: {v 1 = 2t 3 + t; v 2 = t 2 + 2t – 1; v 3 = t + 2; v 4 = 5} Alem disso, pelo menos em um dos vetores, deve figurar um dos graus 3, 2, 1, 0. A forma geral dos vetores de grau 3 é P 3 = at 3 + bt 2 + ct + d formado por = 4 polinômios. Para escrever o polinômio P 3 na base do exemplo, tem-se: Xv 1 + Yv 2 + Zv 3 + Wv 4 = P 3

5 {v 1 = 2t 3 + t; v 2 = t 2 + 2t – 1; v 3 = t + 2; v 4 = 5} Base P 3 = at 3 + bt 2 + ct + d Xv 1 + Yv 2 + Zv 3 + Wv 4 = P 3 Polinômios Equação: X.(2t 3 + 0t 2 + 1t + 0) + Y.(0t 3 + 1t 2 + 2t – 1) + Z.(0t 3 + 0t 2 + 1t + 2) + W.(0t 3 + 0t 2 + 0t + 5) = = at 3 + bt 2 + ct + d 2X + 0Y + 0Z + 0W = a 0X + 1Y + 0Z + 0W = b 1X + 2Y + 1Z + 0W = c 0X – 1Y + 2Z + 5W = d X a Y b Z c W d x= Os polinômios podem ser escritos na forma de vetores (,,, ) cujas coordenadas são os coeficientes dos polinômios. Na matriz esses vetores são representados em colunas.

6 2 - Sejam A = {a 1 = 2, a 2 = x + 1, a 3 = x 2 + 2}, B = {b 1 = 4, b 2 =2x – 1, b 3 = x 2 – x + 1} e C = {c 1 =1, c 2 = x, c 3 = x 2 }, bases do espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois. a) Transforme P(x) C = 4x 2 – 2x + 7 para as bases B e A. b) Transforme P(x) A = 5a a 2 + 2a 1 para as bases B e C. c) Escreva as matrizes que transformam as bases A para B, A para C, B para A, B para C, C para A e C para B EXERCÍCIOS 1 – Quais são as bases canônicas dos espaços vetoriais abaixo sobre o corpo dos reais (P n – polinômio de grau n; M n – matrizes de ordem n)? (a) P 2 (b) P 3 (c) P 4 (d) M 2 (e) M 3 (f) M 4 3 – Escreva um conjunto de matrizes quadradas de ordem 2 que seja uma base para o espaço M 2. Verifique se esse conjunto é mesmo uma base.

7 3 - Sejam os conjuntos: M 1 =,,,M 2 =M 3 = M 4 = M 1 =,,, M 2 =M 3 = M 4 = = = (a) Escreva a matriz nas bases e (b) Determine a matriz que transforma a base na base. (c) Prove que é uma base. (d) Se M = é uma matriz escrita na base, escreva-a na base.

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