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Prof. Cesário. 1 - INTRODUÇÃO O movimento está ligado ao nosso cotidiano. Quando você se desloca para a escola, para o trabalho ou para um local de diversão,

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1 Prof. Cesário

2 1 - INTRODUÇÃO O movimento está ligado ao nosso cotidiano. Quando você se desloca para a escola, para o trabalho ou para um local de diversão, o movimento está presente. Velocímetros, odômetros, são dispositivos encontrados em automóveis, caminhões, motos, cujo principal objetivo é fornecer dados que descrevam o movimento. Os planetas estão em constante movimento em torno do Sol, a lua gira em torno da Terra e a própria Terra está girando em torno de seu eixo.

3 Duas grandezas são fundamentais para a descrição do movimento: O tempo e o espaço. Você já conhece as unidades de tempo e espaço que foram vistos no capítulo Medição. Um fato muito importante na descrição do movimento é a forma com que o mesmo é observado. Observadores diferentes descrevem o movimento de formas diferentes. Vejamos o caso de uma bomba lançada por um avião.

4 1 2 (1)Trajetória da bomba descrita por um observador parado na Terra ou fora do avião. (2) Trajetória descrita por alguém dentro do avião. No caso (1) dizemos que o referencial foi a Terra e no caso (2) o referencial adotado foi o avião. REFERENCIAL: é o ponto ou sistema de eixos em relação ao qual o observador descreve o movimento.

5 01 - Suponha que em uma bicicleta em movimento tenham pousado três vaga-lumes conforme posições indicadas na figura. Como seria descrito o movimento do vaga-lume: a) A pelo vaga-lume B? b) B pelo vaga-lume A? c) C pelo vaga-lume A? d) B pelo vaga-lume C? e) Como uma pessoa parada na calçada veria o movimento de cada um dos vaga-lumes? EXERCÍCIOS 02 - Um garoto encontra-se em um ônibus em movimento. Se ele lançar uma bola de gude para cima, como será descrito o movimento da bola por uma pessoa que esteja: a) Dentro do ônibus? b) Parada na calçada ao lado da qual passa o ônibus?

6 2 – POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE Alguns conceitos importantes: Trajetória – caminho a ser percorrido. Pode ser o nome da estrada, o tipo de caminho como uma reta ou uma curva, etc. Posição ou espaço – indicado por uma distância ou um marco quilométrico A posição é determinada ao longo de um eixo no qual deve ser definida a origem e um sentido. Nas estradas, a origem é a divisa entre estados. É comum indicar a posição na forma x = 30 km, x = -120 km, x = 12 m, etc. Deslocamento: Se x 0 é a posição inicial e x a posição final, o deslocamento, indicado por x, é definido por x = x – x 0. ALERTA: não se deve confundir o deslocamento com o espaço percorrido, que é a distância efetivamente Km 0 Km 100 Km 200 Km 300 Km -100 Km -200 Km -300

7 A figura mostra a estrada que liga Conselheiro Lafaiete a Visconde do Rio Branco. São várias estradas a serem percorridas. Vamos considerar como sendo Apenas a 482. Os marcos quilométricos não são os reais. 12:20 hs 16:30 hs 18:40 hs A posição em t = 12:20 hs é x = - 88 km e em t = 18:40 hs, a posição é x = 120 km. O deslocamento nesse intervalo de tempo foi de: x = 120 – (-88) = 208 km.

8 3 - VELOCIDADE A velocidade pode ser considerada sob dois aspectos diferentes: (i) Velocidade escalar média Definida como onde x é a distância efetivamente percorrida durante o intervalo de tempo t. d t v = Supondo que uma pessoa viaje de Belo Horizonte até o Rio de Janeiro, distância igual a 432 km, tendo saído à 6 horas e 20 minutos e chegado ao Rio às 11h e 44 minutos, tempo este contadas as paradas (que devem ser computadas no tempo para o cálculo), sua velocidade escalar média foi de: Note que: t = 11 h 44 min – 6 h 20 min = 5 h e 24 min = 5h + 24/60 h = 5,4 h v = 432/5,4 = 80 km/h.

9 (ii) Velocidade média ou velocidade vetorial média A velocidade média ou velocidade vetorial média é, como diz no próprio nome, uma grandeza vetorial. A velocidade média é definida por V = x t Com relação aos dois conceitos, a velocidade escalar média será sempre um número positivo, enquanto que a velocidade média poderá assumir um valor positivo, ou negativo ou mesmo nulo. Note que x = x – x 0 (vetor deslocamento) e t = t – t 0

10 EXERCÍCIOS 01 - Um automóvel percorre a distância de 360 km que liga duas cidades, gastando para isso 5 horas. Qual foi sua velocidade, suposta constante, nesse trajeto? Dê a resposta em km/h e em m/s Um automóvel vindo de Brasília em direção ao Rio de Janeiro passa pelo marco quilométrico 139 da BR-040 às 3h 40 min. Se, ao passar por Barbacena, marco 699, são precisamente 10 h 40 min, que velocidade, suposta constante, foi mantida? 03 - Suponha que o elefante da figura tenha percorrido o trecho AB (200 m) em 10 segundos; o trecho BC (400 m) em 18 s e o trecho CD (300 m) em 12 s. Se o elefante desejasse percorrer o mesmo trecho no mesmo tempo, que velocidade deveria ser mantida? 04 - Quanto tempo leva um trem de 1200 m para atravessar uma ponte de 800 m se a velocidade do trem é de 20 m/s?

11 05 - Uma locomotiva, com velocidade de 70 km/h leva 5 horas para ir de uma cidade A até outra B. Da cidade B até a cidade C, cuja distância é de 200 km, leva 4 horas e viajando de C para D com velocidade de 60 km/h gasta uma hora. Se fosse mantida uma velocidade constante, qual deveria ser ela para que a viagem fosse feita no mesmo tempo? 06 - Um atirador deseja determinar a velocidade com que o projétil sai de sua arma. Para isso ele afasta 640 m do alvo e atira. Sendo 320 m/s a velocidade do som e percebendo o som do projétil, 3 segundos após ter disparado a arma, qual é a velocidade do projétil? 07 - Se metade 2/3 de uma estrada foi percorrida com velocidade de 60 km/h e o restante com velocidade de 90 km/h, qual foi a velocidade média?

12 4 – VELOCIDADE INSTÂNTÂNEA Quando você viaja por uma estrada e é pego com excesso de velocidade, digamos, acima de 100 km/h, não adianta querer explicar que você percorreu uma distância de 100 km em 1 h 30 m, desde o momento em que iniciou sua viagem. Usando o radar, você terá a velocidade avaliada num intervalo de tempo de cerca de 1,5 x s. Um automóvel a 108 km/h = 30 m/s, teria percorrido nesse tempo x = 30. 1,5 x = 45 x m = 0,045 mm Ou seja, um espaço muito pequeno, num intervalo de tempo também muito pequeno. Essa velocidade, num intervalo de tempo muito pequeno, é denominada velocidade instantânea. Vamos usar a interpretação gráfica do movimento, usando o gráfico posição X tempo, para uma conceituação mais precisa da velocidade instantânea.

13 Se a velocidade é constante, sendo x 0 a posição no instante t 0 = 0 e x num instante t qualquer, tem-se: x t x0x0 A declividade da reta, x/ t, é a velocidade durante o percurso x = x – x 0. x t Para uma velocidade variável, o gráfico pode assumir formas como abaixo: t1t1 x1x1 x2x2 t2t2 A velocidade média no intervalo de tempo entre t 1 e t 2 é v = = x x 2 – x 1 t t 2 – t 1 Se desejamos encontrar a velocidade no instante t, devemos reduzir cada vez mais o intervalo t 2 – t 1. (Secantes s 2, s 3, s 4, etc). que é a inclinação da secante (s 1 ) s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 t

14 À medida que os pontos onde a secante toca a curva se aproximam do ponto da curva onde se quer determinar a velocidade, a secante tende para a tangente. Escreve-se então: v = lim x t t 0 Você que já estudou parte do Cálculo Diferencial e Integral deve lembrar que a definição acima equivale a: v = dx dt Derivada da função x = f(t). t1t1 x1x1 x2x2 t2t2 s1s1 s2s2 s3s3 s4s4 tangente Pois lim x t t 0 é a declividade da tangente.

15 APLICAÇÃO: Seja x = 6t 2 – 4t + 2 (m, s) a equação da posição de um móvel. Calcular: (a)A velocidade média no intervalo de tempo t = 2s e t = 6 s. Solução: para calcular a velocidade média devemos determinar as posições nos instantes t = 2 s e t = 6 s. Isto se faz substituindo o valor de t na equação da posição. Para t = 2 s, x = – = 18 m Para t = 6 s, x = 6.62 – = 194 m x = 194 – 18 = 176 m t = 6 – 2 = 4 s. Portanto, v = x/ x = 176/4 = 44 m/s. (b) A velocidade no instante t = 10 s. Como foi visto, a equação da velocidade é a derivada da equação da posição. Assim, v = dx/dt = 12t – 4. Para o instante t = 10 s, v = – 4 = 116 m/s.

16 5 – A INTEGRAL E O ESPAÇO PERCORRIDO Se um móvel apresenta uma velocidade constante durante todo o trajeto, pode-se representar o movimento pelo gráfico velocidade x tempo [ v = f(t)], conforme abaixo: t2t2 t1t1 V v t No intervalo de tempo t = t 2 – t 1, o móvel teria percorrido uma distância x = v. t Isto representa a área do retângulo indicado no gráfico. t1t1 t2t2 V t Se a velocidade é variável, o gráfico assume a forma a seguir. Para determinar o deslocamento, podemos dividir o intervalo t 2 – t 1 em intervalos menores, onde a velocidade poderia ser considerada constante (aproximadamente). Assim, o deslocamento em cada intervalo seria equivalente à área do retângulo. É evidente que o resultado seria uma aproximação. Mas, se dividirmos o intervalo t 2 – t 1 em uma infinidade de intervalos, tais que t tenda a zero, o resultado seria bem mais preciso.

17 O espaço percorrido seria então, a soma das áreas dos pequenos retângulos, onde a base é t e a altura é v = f(t i ). Como t tende para zero, escrevemos: x = t1t1 t2t2 v.dt Se t 1 = 0 e t 2 = t, tem-se que: x = v.dt que é a equação da posição do móvel. EXEMPLO 1 Seja v = 12t 3 – 6t 2 + 6t – 5 (m, s) a equação da velocidade de uma partícula em movimento. Sabe-se que no instante t = 2 s, a posição do móvel é x = 30 m. Escrever a equação da posição do móvel em função do tempo. Solução: Temos que x = vdt = (12t 3 – 6t 2 + 6t – 5)dt = = 3t 4 – 2t 3 + 3t 2 – 5t + C Como x = 30 em t = 2, resulta: 30 = – – C C = - 4 Portanto: x = 3t 4 – 2t 3 + 3t 2 – 5t – 4 (m, s)

18 EXEMPLO 2 Se v = 3t 2 – 2t (m, s) é a equação da velocidade de um móvel, calcule o deslocamento desse móvel entre t = 1 s e t = 5 s. Solução: x = (3t 2 – 2t)dt = (t 3 – t 2 ) = (5 3 – 5 2 ) – (1 3 – 1 2 ) = = 100 m


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