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I – GRUPÓIDE Consiste no par (A, ) onde é uma operação interna definida no conjunto A. Exemplo 1: (Z, ), onde a b = a – b (operação subtração). Também,

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2 I – GRUPÓIDE Consiste no par (A, ) onde é uma operação interna definida no conjunto A. Exemplo 1: (Z, ), onde a b = a – b (operação subtração). Também, em (Z, -) todo elemento é inversível à direita, sendo cada elemento o seu próprio inverso ( a Z, a – a = 0). A subtração não é comutativa. a – b b - a A subtração não é associativa. (a – b) – c a – (b – c). (Z, -) admite neutro à direita. a Z, a – 0 = a. Zero é o elemento neutro à direita. Não existe neutro à esquerda. N – a = a N = 2a. Seria um neutro para cada valor de a.

3 Exemplo 2: (N, ), onde a b = a b (potenciação). (a b) c = (a b ) = a bc e a (b c) = a ( b ). c c Como bc é diferente de b c, não é associativa admite elemento neutro à direita. a n = a n = a n = 1. 1 é o elemento neutro à direita. Não existe neutro à esquerda. a b b a. A potenciação não é comutativa. n a = n a = a n = a a Inverso à direita a a = a a = 1 a = 0. Isto é impossível. O mesmo inverso para todos os elementos.

4 II – SEMI-GRUPO É um grupóide associativo. Exemplo: conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 onde a segunda coluna e o dobro da primeira e a segunda linha é igual à primeira linha. Será, o produto de duas matrizes desse tipo, uma matriz desse tipo? a 2a A1 =A1 = e A 2 = b 2b Sejam: A 1.A 2 = ab + 2ab a.2b + 4ab = 3ab 6ab = (3ab) 2(3ab) Como pode ser notado, o resultado é uma matriz do tipo definido.

5 A multiplicação de matrizes é associativa mas não é comutativa. Na multiplicação de matrizes, o elemento neutro é a matriz identidade. Porém, a matriz identidade não satisfaz a definição do tipo de matriz do Enunciado. Portanto, não há elemento neutro. Se não existe elemento neutro, não existe inverso.

6 III - MONÓIDE É um semi-grupo com elemento neutro. Exemplo: Conjunto das matrizes quadradas de ordem 2. A multiplicação de matrizes é associativa O produto de duas matrizes 2x2 é uma matriz 2 x 2. A matriz identidade, com a ij = 1 se i = j e a ij = 0 se i j é o elemento da multiplicação. Nem toda matriz tem inverso. Somente as matrizes com determinante diferente de zero têm inverso.


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