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DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 +.... + a n v n = 0. Definição 1:- Seja B = {v 1, v 2, v 3,... v n } um conjunto de vetores.

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Apresentação em tema: "DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 +.... + a n v n = 0. Definição 1:- Seja B = {v 1, v 2, v 3,... v n } um conjunto de vetores."— Transcrição da apresentação:

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2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v a n v n = 0. Definição 1:- Seja B = {v 1, v 2, v 3,... v n } um conjunto de vetores. Os vetores de B são ditos linearmente dependentes se existirem os escalares a 1, a 2, a 3... a n, nem todos nulos, de modo que Se todos os a i forem nulos os vetores v 1, v 2, v 3,... v n são ditos linearmente independentes. Conseqüência da definição, podemos fazer v 1 = (-a 2 /a 1 )v 2 + (-a 3 /a 1 )v (-a n /a 1 )v n v 1 = b 1 v 2 + b 2 v b n v n. Se existirem b 1, b 2,..., b n então os vetores v 1, v 2, v 3,..., v n são linearmente dependentes. Definição 2:- Um conjunto de vetores é linearmente dependente se um deles for uma combinação linear dos demais.

3 Exemplo 1: verificar se o conjunto (2, 1, 1), (-1, 0, 2), (1, 2, 1) é linearmente dependente ou independente. Aplicando a definição 2, verifiquemos se existem x e y, tais que (2, 1, 1) = x(-1, 0, 2) + y(1, 2, 1). Da igualdade tiramos: (1) -x + y = 2 (2) 0 + 2y = 1 e (3) 2x + y = 1. Resolvendo o sistema: De (2) y = 1/2. (4) De (4) e (1): x = y – 2 = (1/2) – 2 = -3/2 Estes valores devem verificar a equação (3). 2.(-3/2) + 1/2 = /2 = - 5/2 1. Portanto, não existem valores para x e y que satisfaçam às três igualdades. O conjunto é então: linearmente independente.

4 Exemplo 2:- Verificar se o conjunto (2, 1, 3), (3, 1, 2), (5, 2, 5) é linearmente dependente ou independente. Temos então: (1)2x + 3y = 5, (2) x + y = 2 e (3) 3x + 2y = 5. Pela definição: x.(2, 1, 3) + y.(3, 1, 2) = (5, 2, 5) Assim, o sistema tem solução única x = 1 e y = 1. Portanto, cada vetor é uma combinação linear dos outros dois. Concluindo, os vetores são: linearmente dependentes. De (1) e (2): 2x + 3(2 – x) = 5 2x + 6 – 3x = 5 - x = -1 x = 1. L evando esse valor em (2) 1 + y = 2 y = 1 Verificando a equação (3): = 5. O que confere a equação (3).


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