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3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR Definição 1 - Matriz complementar de um elemento a ij de A, é a matriz indicada por A i j, obtida quando se elimina.

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1 3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR Definição 1 - Matriz complementar de um elemento a ij de A, é a matriz indicada por A i j, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A. Definição 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento a ij, que se indica por a i j, calculado por: a i j = (-1)i+ j.det(A i j ) Seja, por exemplo, a matriz A, tal que: A = a 1 1 = (-1) 1+1.det a 3 2 = (-1) 3+2.det = 1.(0 – 2.8) = -16 = (-1).(3.8 – 5.7) = 11 EXERCÍCIO 1 – Calcule a 13.a a 23.a a 33.a – Calcule a 21.a a 22.a a 23.a – Calcule det(A).

2 OBSERVE: No exercício 1 você usou a 3ª coluna da matriz A, obtendo então a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos algébricos. No exercício 2 você usou a 2ª linha da matriz A, obtendo então a soma dos produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementos algébricos. 4 – Calcule a 13.a a 23.a a 33.a – Calcule a 21.a a 22.a a 23.a 3 3 Qual foi o resultado comparando com o do exercício 3? Nos exercícios 4 e 5, multiplicou-se uma fila pelos complementos algébricos de uma fila paralela. Qual foi o resultado? Que conclusões podem ser tiradas?

3 CONCLUSÃO 1 – TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos respectivos complementos algébricos. CONCLUSÃO 2 A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos complementos algébricos de uma fila paralela, na mesma ordem, é igual a zero.

4 Exercícios 1 - Usando as propriedades calcule os determinantes das matrizes: 2 - Aplicando as propriedades, calcule os determinantes das matrizes:

5 3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras. a) det(A + B) = det(A) + det(B) b) det(AB) = det(BA) c) det(AB) = det(A).det(B) c) det(A) = det(A T ) 4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [a ij ] é igual a a 11 a 22 a 33...ann se a ij = 0 quando i > j. 5 – Calcule o determinante da matriz 6 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?


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