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O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes Simétricas Pós-Graduação – INPE CMC-203-0 Aluno: Carlos Felipe S. Freire Professor: Dr. Mario Ricci Maio/2006.

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1 O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes Simétricas Pós-Graduação – INPE CMC Aluno: Carlos Felipe S. Freire Professor: Dr. Mario Ricci Maio/2006

2 O Método de Jacobi Aplicabilidade: Método numérico aplicado na Diagonalização de Matrizes Reais e Simétricas

3 O Método de Jacobi A = = A T -1.A.T A – Matriz Original T – Matriz de Transformação (composta pelos Autovetores de A) A – Matriz Diagonalizada Matriz Simétrica Autovalores de A = Autovalores de A Definição da Transformação de Diagonalização :

4 Metodologia: O Método de Jacobi consiste em aplicar à matriz A simétrica, sucessivas rotações de tal forma a anular todos os elementos posicionados fora da diagonal principal. Desta forma, os elementos restantes na diagonal principal serão exatamente os autovalores de A. Assim sendo temos: T – Matriz de Transformação composta pelos Autovetores de A O Método de Jacobi

5 Temos que: Somatório de todos o elementos da Matriz A k Somatório de todos o elementos da diagonal Principal da Matriz A k Assim, para a Matriz A k não nula temos: Processo gradativo e convergente

6 O Método de Jacobi Processo gradativo e convergente Critério de Convergência:

7 O Método de Jacobi Definindo a Matriz : Se considerarmos a matriz como sendo a Matriz Identidade, exceto que: Linha i - coluna i = cos coluna j = sin Linha j - coluna i = sin coluna j = -cos Nota-se que : i j i j =

8 Definindo o valor de : A operação de pré-multiplicar e pós-multiplicar A k por U k+1 não irá afetar os valores dos elementos desta matriz, a menos daqueles posicionados nas linhas i e j e nas nas colunas i e j. Observando apenas os valores de: Após as multiplicações de A k por U k+1 temos: O Método de Jacobi

9 Definindo o valor de : Fazendo: Temos: O Método de Jacobi

10 Definindo o valor de : Manipulando as expressões anteriores Fazendo: Temos: O Método de Jacobi

11 n, K max,A, 1, 2, 3 Begin T I K=1,2,…K max i =1, 2,…n-1 j =i+1, i+2,…n F V F V i =1, 2,…n # # # V F

12 O Método de Jacobi BIBLIOGRAFIA: Applied Numerical Methods Brice Carnahan H.A.Luther James O. Wilkes


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