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O Método de Jacobi Aplicado a Matrizes Simétricas Pós-Graduação – INPE CMC-203-0
Aluno: Carlos Felipe S. Freire Professor: Dr. Mario Ricci Maio/2006
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O Método de Jacobi Aplicabilidade:
Método numérico aplicado na Diagonalização de Matrizes Reais e Simétricas
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O Método de Jacobi Definição da Transformação de Diagonalização: A =
T-1.A.T A – Matriz Original T – Matriz de Transformação (composta pelos Autovetores de A) A’ – Matriz Diagonalizada Autovalores de A = Autovalores de A’ Matriz Simétrica
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O Método de Jacobi Metodologia:
O Método de Jacobi consiste em aplicar à matriz A simétrica, sucessivas rotações de tal forma a anular todos os elementos posicionados fora da diagonal principal. Desta forma, os elementos restantes na diagonal principal serão exatamente os autovalores de A. Assim sendo temos: T – Matriz de Transformação composta pelos Autovetores de A
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Processo gradativo e convergente
O Método de Jacobi Processo gradativo e convergente Temos que: Somatório de todos o elementos da Matriz Ak Somatório de todos o elementos da diagonal Principal da Matriz Ak Assim, para a Matriz Ak não nula temos:
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O Método de Jacobi Critério de Convergência:
Processo gradativo e convergente Critério de Convergência:
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O Método de Jacobi Definindo a Matriz : =
Se considerarmos a matriz como sendo a Matriz Identidade, exceto que: Linha i - coluna i = cos coluna j = sin Linha j - coluna i = sin coluna j = -cos = i j Nota-se que : i j
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O Método de Jacobi Definindo o valor de :
A operação de pré-multiplicar e pós-multiplicar Ak por Uk+1 não irá afetar os valores dos elementos desta matriz, a menos daqueles posicionados nas linhas i e j e nas nas colunas i e j. Observando apenas os valores de: Após as multiplicações de Ak por Uk+1 temos:
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O Método de Jacobi Definindo o valor de : Fazendo: Temos:
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O Método de Jacobi Definindo o valor de :
Manipulando as expressões anteriores temos: @: Fazendo: Temos:
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O Método de Jacobi Begin T I # n, Kmax,A, 1,2, 3 K=1,2,…Kmax
j =i+1, i+2,…n F V i =1, 2,…n #
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O Método de Jacobi BIBLIOGRAFIA: Applied Numerical Methods
Brice Carnahan H.A.Luther James O. Wilkes
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