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SÉRIE DE FOURIER (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa.

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Apresentação em tema: "SÉRIE DE FOURIER (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa."— Transcrição da apresentação:

1 SÉRIE DE FOURIER (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Série de Fourier Anteriormente... Sinais combinação linear de δ(t) Sistemas resposta ao impulso h(t) Análise de Fourier Sinais combinação linear de senóides Exponenciais complexas Sistemas resposta em freqüência

3 Série de Fourier Excitação periódica Sistema linear e invariante no tempo (LTI) Aplicando um impulso ao sistema Resposta ao impulso Aplicando um trem de impulsos ao sistema Resposta periódica resposta forçada Apenas resposta forçada da EDO que rege o LTI

4 Série de Fourier Excitação periódica Exemplos: Gota em tanque de água Mola Massa Resposta ao impulso

5 Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório

6 Série de Fourier Excitação periódica Exercício

7 Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório a muito tempo atrás Exigência de excitação iniciar a muito tempo atrás Operação trabalhosa infinita Soma infinita de respostas ao impulso atrasadas apenas Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?

8 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Dado: Sistema LTI h(t) Excitação exponencial complexa x(t) = e +jΩt convolução Por convolução, a resposta é: freqüência específicaΩ Note: resposta para uma freqüência específica Ω

9 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Pelo princípio da superposição Para o sistema h(t) A resposta é com

10 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Autovalor Autovalor Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e +jΩt Produto interno Autovetor/Autofunção Autovetor/Autofunção Direção g(t) considerada na qual se projeta h(t)

11 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Exemplo Aproximação de onda triangular inclinada usando sinais do tipo cos(kΩt+Θ)

12 Série de Fourier Excitação exponencial complexa kΩharmônicas As freqüências kΩ são chamadas harmônicas k Z São múltiplas de 2π/T cos(kΩt+Θ) Cada A k cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: cos(kΩt)sen(kΩt) [A k cos(Θ)] cos(kΩt) + [–A k sen(Θ)] sen(kΩt) Senóides com fase soma de senóides e cossenóides ponderadas.

13 Série de Fourier Definição Se x(t) é periódico, com período T, t 0 t

14 Série de Fourier Definição Em termos de senos e cossenos E X c [k] e X s [k] k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)

15 Série de Fourier Definição Condições de existência Sinal absolutamente somável entre t 0 t

16 Série de Fourier Questão de periodicidade A partir de: Temos que:

17 Série de Fourier Questão de periodicidade

18 Série de Fourier Questão de periodicidade

19 Série de Fourier Questão da periodicidade Reforçando: k Z Não existe componente para k não inteiro! seqüência/série X[k] é uma seqüência/série de números Ω = 1 / T período do sinal escolhido Freqüência de cálculo está relacionado com o período do sinal escolhido para a análise da série Existem 2 períodos envolvidos Período real do sinal Período para cálculo da Série de Fourier Exemplos/Exercícios

20 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS Usando uma amplitude harmônica X n [k] O erro mínimo será: argmin{E e } = X[k] Com argmin{E e } = X[k]

21 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

22 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

23 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS Sinais contínuos Convergência com número finito de harmônicos Sinais descontínuos Presença de impulsos δ(t) Convergência com número finito de harmônicos Mas não atinge convergência absoluta Fenômeno de Gibbs Fenômeno de Gibbs Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas) Oscilação nas regiões de descontinuidade

24 Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS Sinais descontínuos Exemplos: Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou não) Ruído em imagens compactadas (JPEG) Ruído em vídeo digital compactado (MPEG, TV digital) Pré-eco em instrumentos de percussão

25 Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS Aproximação de u(t) via FS A A/2

26 Série de Fourier Propriedades Linearidade Linearidade com T = m T x = q T y

27 Série de Fourier Propriedades Inversão de tempo Inversão de tempo com T = m T x

28 Série de Fourier Propriedades Deslocamento no tempo Deslocamento no tempo com T = m T x Deslocamento em freqüência Deslocamento em freqüência com T = m T x

29 Série de Fourier Propriedades atraso de fase Deslocamento no tempo atraso de fase

30 Série de Fourier Propriedades modulação AM Deslocamento na freqüência modulação AM

31 Série de Fourier Propriedades Escala de tempo Escala de tempo com T = m T x ou

32 Série de Fourier Propriedades Diferenciação Diferenciação Com T = m T x

33 Série de Fourier Propriedades Integração Integração Com T = m T x e X[0]=0 Se X[0] 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica Inexistência da série de Fourier para tal sinal

34 Série de Fourier Propriedades Modulação Modulação com T = m T x = q T y

35 Série de Fourier Propriedades Convolução periódica Convolução periódica com T = m T x = q T y

36 Série de Fourier Propriedades Modulação e Convolução Modulação no tempo Convolução em freqüência Convolução no tempo Modulação em freqüência Convolução no tempo Modulação em freqüência Princípio de filtragem!

37 Série de Fourier Propriedades Conjugado Conjugado Com T = m T x Propriedade decorrente: módulo – é par Se x(t) é par, |X[k]| 2 – módulo – é par fase – é impar Se x(t) é par,

38 Série de Fourier Propriedades Teorema de Parseval Teorema de Parseval Com T = m T x Potência média do sinal Soma das potências médias harmônicas

39 Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI Do conceito de autofunção Excitação exponencial complexa (freqüência Ω) Resposta exponencial complexa (freqüência Ω) Exemplos/Exercícios

40 Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI Aplicação direta sobre EDO Linear a coeficientes constantes resposta do sistema espectrais Obtenção da resposta do sistema a componentes harmônicos espectrais Por manipulação algébrica Apenas para harmônicos de Ω = 2π/T


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