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Aula 8 dedução das equações de conservação. sistema físico modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura.

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1 Aula 8 dedução das equações de conservação

2 sistema físico modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = h s + h b : profundidade do escoamento h s : espessura da camada de transporte em suspensão h b : espessura da camada de transporte por arrastamento L a : espessura da camada de mistura Y b : cota do fundo LaLa

3 sistema físico modelo de camadas múltiplas transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato h = h s + h b : profundidade do escoamento h s : espessura da camada de transporte em suspensão h b : espessura da camada de transporte por arrastamento L a : espessura da camada de mistura Y b : cota do fundo LaLa

4 teorema do transporte de Reynolds (#1) modelo conceptual ausência de fontes ou sumidouros dada uma grandeza extensiva e

5 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1)

6 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1) primeira parcela:

7 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1) segunda parcela:

8 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1) segunda parcela:

9 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1) segunda parcela:

10 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#1) somando as duas parcelas: teorema do transporte de Reynolds (#2) volume de controlo não coincide com o sistema em t = t 0 + t velocidade do fluido relativamente à fronteira do volume de controlo

11 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#2)

12 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#2) notar que: se

13 modelo conceptual teorema do transporte de Reynolds (#2) por definição:

14 modelo conceptual conservação da massa na camada [1] considerando que não há fontes ou sumidouros e que e = s (1) (massa volúmica aparente dos sedimentos transportados em suspensão) transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato LaLa exemplo: sedimentos transportados em suspensão fronteiras móveis fronteiras fixas

15 conservação da massa de sedimentos transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato LaLa sedimentos transportados em suspensão taxa de variação local fluxo fronteira fixa 1 fluxo fronteira fixa 2 fluxo fronteira fundo modelo conceptual B largura do canal conservação da massa na camada [1]

16 modelo conceptual considerando que e integrando no tempo, fica note que, porque não há segregação entre os sólidos transportados em suspensão e o fluido, sedimentos transportados em suspensão conservação da massa na camada [1]

17 modelo conceptual eliminando a largura do canal, B, e a massa volúmica dos grãos, (g), e considerando que que regra de Leibnitz teorema fundamental do cálculo e que sedimentos transportados em suspensão conservação da massa na camada [1]

18 modelo conceptual considerando que o espaço de integração é não nulo equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma integral equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma diferencial cumprindo um processo idêntico ao anterior, a equação da massa de água na camada de transporte em suspensão é notar que massa volúmica aparente da água é conservação da massa na camada [1]

19 conservação da massa de sedimentos transporte em suspensão transporte por arrastamento camada de mistura substrato LaLa sedimentos transportados por arrastamento equação de conservação dos sedimentos transportados por arrastamento na camada [2] modelo conceptual conservação da massa na camada [2] nota: como os sedimentos grosseiros e a água têm velocidades diferentes (há segregação) depth-averaging e flux-averaging são conceitos diferentes!

20 modelo conceptual conservação da massa na camada [2] consequências da segregação de sedimentos grosseiros transportados por arrastamento prova-se que em que e, para concentrações baixas, que

21 modelo conceptual conservação da massa na camada [2] súmula de equações de conservação da massa sedimentos grosseiros sedimentos finos água conservação da massa no leito sedimentos água

22 modelo conceptual conservação da massa total massa total na camada [1] massa total na camada [2] massa total no leito massa total no sistema

23 modelo conceptual conservação da quantidade de movimento exemplo: camada [1] taxa de variação temporal da quantidade de movimento (forças de inércia) forças de massa forças no contorno variação local variação convectiva força da gravidade forças de pressão (normais) forças tangenciais : aceleração da gravidade : pressão : tensões tangenciais hipótese fundamental: as camadas são meios contínuos água sólidos

24 LaLa modelo conceptual conservação da quantidade de movimento [1] - forças de inércia - forças de pressão - força da gravidade - forças de resistência - outras forças tangenciais membro esquerdo, segundo x:

25 modelo conceptual conservação da quantidade de movimento [1] membro direito, segundo x: força da gravidade forças de pressão forças de resistência

26 modelo conceptual conservação da quantidade de movimento [1] eliminando a largura do canal (canal prismático ou cilíndrico) a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial obtém-se considerando que o espaço de integração é não-nulo e que

27 modelo conceptual conservação da quantidade de movimento [2] seguindo um procedimento idêntico ao anterior obtém-se a eq. cons. na forma integral a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial é

28 modelo conceptual súmula das equações de conservação das camadas de transporte e do leito nota: entre eq. de conservação dos sedimentos (S), a eq. de conservação da água (W) e a eq. de conservação da massa total (T) só 2 equações são independentes (T=S+W). usa-se a eq. de conservação da massa total e não a da água. nota: sempre que as fracções correspondentes não segregarem. massa total massa de sedimentos, leito massa de sedimentos, fracção k, camada [1] massa de sedimentos, fracção k, camada [2] quantidade de movimento da mistura, camada [1] quantidade de movimento da mistura, camada [2]

29 modelo conceptual camada de mistura LaLa nota: a camada de mistura age como um filtro Hipóteses: - não há movimento longitudinal - fluxos de massa são exclusivamente verticais - existe mistura instantânea do material entrado nesta camada acumulação da fracção k fluxo da fracção k através da fronteira inferior erosão deposição fluxo da fracção k através da fronteira superior

30 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na camada de transporte em suspensão [1] : velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2] : cota do fundo : concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [1] : concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [2] : percentagem da fracção granulométrica k na camada de mistura 4 + 3(k-1) variáveis dependentes para 4 + 3(k-1) equações!

31 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho: : fluxo da fracção k entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo da fracção k entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2] : tensão de arrastamento de [2] para [1] : tensão de arrastamento de [1] para [2] : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de mistura : percentagem da fracção k entre a camada de mistura e o fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento

32 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho, exemplos: : coeficiente de resistência; calcular com uma fórmula apropriada de resistência e.g., só resistência do grão (tipo Keulegen, Einstein, etc...), ou resistência do grão e de forma (Garde e Raju, Brownlie, Ackers et al., Van Rijn). : espessura da camada de transporte por arrastamento com ou sem formas de fundo. : espessura da camada de mistura com ou sem formas de fundo.

33 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho equações de fecho, exemplos: : caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte (e.g., Einstein, Meyer-Peter & Mueller, Van Rijn, etc...). deposição: erosão: equilíbrio: nota: deve incorporar um critério de sobreexposição/ocultamento (exposure/hiding). exemplo, na fórmula de Meyer-Peter & Mueller: mobilidade indiferente: = 0

34 modelo conceptual granulometria uniforme, equações de conservação massa total conservação da massa de sedimentos do leito massa de sedimentos, camada [1] massa de sedimentos, camada [2] quantidade de movimento da mistura, camada [1] quantidade de movimento da mistura, camada [2]

35 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #2 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na camada de transporte em suspensão [1] : velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2] : cota do fundo : concentração de sedimentos em [1] : concentração de sedimentos em [2] 6 variáveis dependentes para 6 equações

36 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #2 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2] : tensão de arrastamento de [2] para [1] : tensão de arrastamento de [1] para [2] : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento exemplo:

37 modelo conceptual granulometria uniforme, velocidade média massa total conservação massa sedimentos, leito massa de sedimentos, camada [1] massa de sedimentos, camada [2] quantidade de movimento da mistura

38 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #3 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média na totalidade da coluna de água : cota do fundo : concentração de sedimentos em [1] : concentração de sedimentos em [2] 5 variáveis dependentes para 5 equações

39 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #3 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1] : fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2] : velocidade média na camada de arrastamento : tensão de arrastamento junto ao fundo : espessura da camada de transporte por arrastamento exemplo: : velocidade média na camada de arrastamento, água e sedimentos velocidade média dos sedimentos velocidade média da água

40 modelo conceptual granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações massa total conservação da massa de sedimentos no leito massa de sedimentos em movimento quantidade de movimento da mistura porque:

41 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #4 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo 4 variáveis dependentes para 4 equações : concentração total de sedimentos

42 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #4 equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e o escoamento : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: : caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

43 modelo conceptual massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio

44 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #5 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo 3 variáveis dependentes para 3 equações

45 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #5 equações de fecho: : concentração de sedimentos (igual à capacidade de transporte) : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: em que q S é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

46 modelo conceptual massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

47 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #6 variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : velocidade média do escoamento : cota do fundo 3 variáveis dependentes para 3 equações (1 eq. algébrica)

48 modelo conceptual variáveis dependentes e equações de fecho, #6 equações de fecho: : concentração de sedimentos : tensão de arrastamento junto ao fundo exemplo: em que q S é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

49 modelo conceptual se se desprezar a acumulação de sedimentos na coluna de água, i.e., granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente note-se que a equação de conservação da quantidade de movimento é, ausência de descontinuidades no escoamento, equivalente à equação de Bernoulli

50 modelo conceptual considerando que granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente que e que obtém-se e, portanto

51 modelo conceptual massa total conservação da massa de sedimentos quantidade de movimento da mistura granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente variáveis dependentes: : profundidade do escoamento : cota do fundo : velocidade média do escoamento equações de fecho: : concentração de sedimentos : declive da linha de energia


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