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IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese1 / 59 Aspectos Geométricos do Electromagnetismo Provas de Agregação: Lição de Síntese Carlos R. Paiva Professor.

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1 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese1 / 59 Aspectos Geométricos do Electromagnetismo Provas de Agregação: Lição de Síntese Carlos R. Paiva Professor Associado do IST

2 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese2 / 59 Sumário da lição de síntese Equações de Maxwell e de Maxwell-Boffi: meios electromagnéticos Álgebra geométrica do plano euclidiano Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional Primeira formulação geométrica do electromagnetismo Meios anisotrópicos Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski Segunda formulação geométrica do electromagnetismo Efeito Doppler Meios em movimento

3 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese3 / 59 Enquadramento e objectivos Esta lição insere-se no programa de Fotónica – disciplina do mestrado integrado em engenharia electrotécnica e de computadores do IST. Os alunos (hipotéticos) a que esta lição se destina são os alunos típicos de Fotónica. No entanto faz-se aqui uma síntese que seria – do ponto de vista pedagógico – demasiado concentrada para uma aula teórica normal dessa unidade curricular. Esta lição de síntese poderia, no entanto, ser utilizada após as aulas teóricas e práticas de Fotónica correspondentes a estes assuntos enquanto revisão de conjunto. Alternativamente constitui um seminário sinóptico sobre álgebra geométrica e suas aplicações em electromagnetismo, tendo em vista aplicações em óptica e fotónica. Abarcam-se, de uma forma integrada, dois capítulos de Fotónica: Os meios anisotrópicos; A óptica relativista. O tema central é a formulação geométrica do electromagnetismo através da linguagem matemática das álgebras geométricas (de Clifford) em duas abordagens: Primeira parte – na álgebra geométrica do espaço tridimensional euclidiano; Segunda parte – na álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski. Além do objectivo explícito de ensinar as matérias referidas, existe (em paralelo) um objectivo implícito: adopta-se uma formulação que é independente de qualquer sistema particular de coordenadas. Trata-se, portanto, de uma perspectiva sintética, que trata os objectos geométricos de forma abstracta – por oposição a uma perspectiva estritamente algébrica, reduzida à simples manipulação das respectivas componentes.

4 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese4 / 59 Equações de Maxwell e equações de Maxwell-Boffi (1)

5 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese5 / 59 Equações de Maxwell e equações de Maxwell-Boffi (2) As equações de Maxwell-Boffi ignoram a existência de meios materiais: o único meio é o vácuo. Os meios materiais são estranhos à ontologia destas equações. Trata-se de uma perspectiva reducionista; corresponde à visão fundamental da física teórica. As equações de Maxwell admitem a existência de meios materiais. Trata-se de uma perspectiva fenomenológica; corresponde à visão da engenharia electrotécnica e da física aplicada. É esta a perspectiva aqui adoptada. Nas equações de Maxwell-Boffi apenas aparecem os campos eléctrico e magnético. Ignoram-se os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). Todas as fontes do campo electromagnético (quer as livres quer as ligadas entre si e que constituem os «materiais») são tidas em consideração. Nas equações de Maxwell aparecem, além dos campos principais (eléctrico e magnético), os campos auxiliares de excitação (eléctrica e magnética). As únicas fontes do campo electromagnético são as cargas livres (em repouso ou em movimento).

6 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese6 / 59 Álgebra vectorial de Gibbs

7 Parte I Álgebra Geométrica do Plano Euclidiano IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese7 / 59

8 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese8 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (1)

9 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese9 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (2)

10 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese10 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (3)

11 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese11 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (4)

12 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese12 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (5)

13 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese13 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (6)

14 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese14 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (7)

15 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese15 / 59 Álgebra geométrica do plano euclidiano (8)

16 Parte II Álgebra Geométrica do Espaço Tridimensional Euclidiano IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese16 / 59

17 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese17 / 59 Os quaterniões de Hamilton

18 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese18 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (1)

19 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese19 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (2) Nota: O produto externo exige uma métrica.

20 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese20 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (3)

21 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese21 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (4)

22 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese22 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (5)

23 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese23 / 59 Álgebra geométrica do espaço euclidiano tridimensional (6)

24 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese24 / 59 Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (1)

25 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese25 / 59 Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (2) Nota: Doravante, para simplificar a escrita das equações, omite-se o índice «0». Trabalha-se, portanto, com amplitudes complexas.

26 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese26 / 59 Primeira formulação geométrica do electromagnetismo (3)

27 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese27 / 59 Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (1)

28 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese28 / 59 Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (2) meio anisotrópico:

29 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese29 / 59 Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (3)

30 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese30 / 59 Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (4)

31 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese31 / 59 Meios anisotrópicos: cristais não-magnéticos (5)

32 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese32 / 59 Propagação de ondas electromagnéticas em cristais não-magnéticos

33 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese33 / 59 Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (1)

34 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese34 / 59 Propagação de ondas electromagnéticas em cristais uniaxiais (2) onda ordinária onda extraordinária

35 Parte III Álgebra Geométrica do Espaço-Tempo Plano de Minkowski IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese35 / 59

36 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese36 / 59 Postulados de Einstein e métrica de Lorentz (1) P1: Todos os referenciais de inércia são equivalentes. P2: A velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais de inércia.

37 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese37 / 59 Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (1) O espaço-tempo de Minkowski é o modelo físico do espaço quadridimensional (plano) onde têm lugar os acontecimentos da teoria da relatividade restrita.

38 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese38 / 59 Espaço quadrático que modela o espaço-tempo de Minkowski (2) Um espaço linear (ou vectorial) dotado de uma forma quadrática diz-se um espaço quadrático.

39 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese39 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (1)

40 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese40 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (2)

41 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese41 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (3)

42 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese42 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (4)

43 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese43 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (5)

44 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese44 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (6)

45 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese45 / 59 Álgebra geométrica do espaço-tempo de Minkowski (7)

46 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese46 / 59 Diagramas de Minkowski (1)

47 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese47 / 59 Diagramas de Minkowski (2)

48 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese48 / 59 Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (1)

49 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese49 / 59 Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (2) Os bivectores de Faraday e de Maxwell são os bivectores fundamentais do campo electromagnético descrito no espaço-tempo de Minkowski. Os quatro bivectores que entram na composição desses dois bivectores fundamentais são bivectores auxiliares e correspondem aos vectores usuais do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano. Os dois bivectores fundamentais representam o campo electromagnético de forma independente do observador considerado. Os bivectores auxiliares, porém, dependem do observador considerado. A descrição baseada nos bivectores fundamentais é, deste modo, superior à descrição do electromagnetismo no espaço tridimensional euclidiano.

50 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese50 / 59 Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (3)

51 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese51 / 59 Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (4)

52 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese52 / 59 Segunda formulação geométrica do electromagnetismo (5)

53 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese53 / 59 Efeito Doppler (1)

54 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese54 / 59 Efeito Doppler (2)

55 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese55 / 59 Meio isotrópico simples no espaço-tempo de Minkowski

56 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese56 / 59 Meio isotrópico simples em movimento (1) Um meio isotrópico simples (assim classificado no seu referencial próprio) é, do ponto de vista do laboratório (onde é visto em movimento), como um meio bianisotrópico.

57 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese57 / 59 Meio isotrópico simples em movimento (2)

58 IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese58 / 59 Meio isotrópico simples em movimento (3)

59 Comentários finais O estudo dos meios anisotrópicos (e bianisotrópicos) ganha uma nova formulação, mais geométrica, através da álgebra linear no âmbito da álgebra geométrica do espaço tridimensional (linear algebra done right). A óptica relativista e a teoria do electromagnetismo revelam a sua verdadeira estrutura no quadro do espaço quadridimensional de Minkowski através da álgebra geométrica do espaço-tempo (spacetime algebra). Em ambos os casos a álgebra geométrica conduz a uma formulação independente de qualquer sistema de coordenadas – o que permite: Maior generalidade e maior flexibilidade. Uma libertação da física aplicada em relação à álgebra vectorial de Gibbs, na qual o tempo é necessariamente tratado de forma separada do espaço (como um add on). Uma linguagem apropriada para a formulação sintética da álgebra linear onde determinantes e operadores lineares são analisados de forma independente da linguagem matricial que os prende, necessariamente, a sistemas particulares de coordenadas. Ao contrário do que defende Hestenes, uma formulação pré-métrica da electrodinâmica clássica tem de recorrer às formas diferenciais e não à álgebra geométrica pois esta última tem um métrica built in. IST, 7 de Junho de 2014Lição de Síntese59 / 59


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