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Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real Carlos Cardeira.

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Apresentação em tema: "Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real Carlos Cardeira."— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real Carlos Cardeira

2 Máquinas de estados – Tempo Real Máquinas de estado em tempo real Máquinas de estado em tempo real Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), representação [A,B,C,D] Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), representação [A,B,C,D] Equações Diferenciais e sua relação com LTI Equações Diferenciais e sua relação com LTI

3 Máquinas de estados – Tempo Real Máquinas de estado em tempo real Máquinas de estado em tempo real Similares às máquinas de estados mas agora os indices representam tempo real. Há uma actualização periódica do estado. Deixa de haver absent. Similares às máquinas de estados mas agora os indices representam tempo real. Há uma actualização periódica do estado. Deixa de haver absent. O espaço de estados pode ser infinito O espaço de estados pode ser infinito A função update pode ser expressa algébricamente (de outra forma não podia ser uma vez que o espaço de estados pode ser infinito) A função update pode ser expressa algébricamente (de outra forma não podia ser uma vez que o espaço de estados pode ser infinito)

4 Sistemas Lineares e Invariantes (LTI) Os sistemas Lineares e Invariantes no tempo são aqueles para os quais se conhecem mais resultados Os sistemas Lineares e Invariantes no tempo são aqueles para os quais se conhecem mais resultados De uma forma geral, dentro de ums determinada gama de funcionamento, os sistemas podem ser aproximados a LTI. De uma forma geral, dentro de ums determinada gama de funcionamento, os sistemas podem ser aproximados a LTI.

5 Equações Diferenciais Os sistemas que se conseguem descrever através de equações diferenciais podem ser definidos como sistemas LTI Os sistemas que se conseguem descrever através de equações diferenciais podem ser definidos como sistemas LTI Circuitos electricos RLC ou sistemas mecânicos pertencem a esta categoria Circuitos electricos RLC ou sistemas mecânicos pertencem a esta categoria

6 Máquinas de estados determinísticas

7 Máquinas de estados tempo real n deixa de representar apenas um índice mas passa a representar tempo real (segundos, minutos, etc.). n deixa de representar apenas um índice mas passa a representar tempo real (segundos, minutos, etc.). Absent deixa de ser necessário. Absent deixa de ser necessário. Entradas, saídas, estados passam a assumir valores pertencentes a R. Entradas, saídas, estados passam a assumir valores pertencentes a R. Recurso intensivo à Álgebra Linear para a manipulação dos vectores e matrizes. Recurso intensivo à Álgebra Linear para a manipulação dos vectores e matrizes.

8 Delay3

9 Estados do Delay O exemplo pode corresponder à amostragem de um sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O sistema delay guarda as últimas três amostras deste sinal. O exemplo pode corresponder à amostragem de um sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O sistema delay guarda as últimas três amostras deste sinal. s i (n) representa a iésima amostra anterior (s 1 (n) = x(n-1), …, s 3 (n) = x(n-3) = y(n) s i (n) representa a iésima amostra anterior (s 1 (n) = x(n-1), …, s 3 (n) = x(n-3) = y(n) A saída é igual à entrada desfasada de três unidades A saída é igual à entrada desfasada de três unidades Como se verá, este sistema pode ser representado por matrizes. Como se verá, este sistema pode ser representado por matrizes. O espaço de estados é R 3. Se as entradas forem {0,1} o espaço de estados seria {0,1} 3 O espaço de estados é R 3. Se as entradas forem {0,1} o espaço de estados seria {0,1} 3 Não se podem fazer diagramas de estado ou tabelas se o espaço de estados, entradas ou saídas pertencerem a R. Não se podem fazer diagramas de estado ou tabelas se o espaço de estados, entradas ou saídas pertencerem a R.

10 Média Móvel

11 Trata-se de uma média móvel das últimas 4 amostras. Trata-se de uma média móvel das últimas 4 amostras. Os estados seguintes dependem dos estados actuais e das entradas, Os estados seguintes dependem dos estados actuais e das entradas, A saída depende do estado actual e das entradas. A saída depende do estado actual e das entradas.

12 Estimação y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) Em estimação é frequente ter valores onde se pensa poder extrair uma função que os identifique. Em estimação é frequente ter valores onde se pensa poder extrair uma função que os identifique. Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular os valores que melhor satisfizessem a equação de y(n). Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular os valores que melhor satisfizessem a equação de y(n).

13 Média móvel das saídas (autoregressão) e da entrada actual y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) Neste caso, a saída depende dos seus próprios valores anteriores e da entrada nesse instante. Neste caso, a saída depende dos seus próprios valores anteriores e da entrada nesse instante. Parece óbvio que os estados correspondam a s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3). Parece óbvio que os estados correspondam a s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3). A função update seria: A função update seria: Começar por s1 não dá Começar por s1 não dá s2(n+1)=y(n-1)= s1(n) s2(n+1)=y(n-1)= s1(n) s3(n+1)=y(n-2)=s2(n) s3(n+1)=y(n-2)=s2(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) (agora já se tem o s1(n+1) porque é igual ao y(n)) (agora já se tem o s1(n+1) porque é igual ao y(n))

14 Usando Delays: DDD ¼ ¼¼ + y(n) y(n-1)y(n-2) y(n-3) ¼ x(n)

15 Autoregressão e Média Móvel (ARMA) y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2) y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2) Necessitaria de 5 delays (adiante veremos que seria possível fazê-lo com 3) Necessitaria de 5 delays (adiante veremos que seria possível fazê-lo com 3)

16 Média Móvel s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n- 2) + ¼ x(n-3) s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n- 2) + ¼ x(n-3) s2(n+1)= s1(n) s2(n+1)= s1(n) s3(n+1)=s2(n) s3(n+1)=s2(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) s1(n+1) ¼¼¼s1(n) 1/4 s2(n+1) =100s2(n)+ 0x(n) s3(n+1) 010s1(n) 0

17 Média Móvel y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n) y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n) s2(n) s2(n) s3(n) s3(n)

18 Representação [A,B,C,D] S(n+1) = A s(n) + B x(n) y(n) = C T s(n) + D x(n) Notas: Por omissão, todos os vectores são colunas. Um vector linha obtem-se transpondo um vector coluna Todos os LTI podem ser colocados neste formato

19 Sistema LTI Genérico MIMO: Multiple Input, Multiple Output SISO: Single Input, Single Output

20 Espaço de estados infinito com funções de update lineares

21 Exemplo: Circuito R/C

22 Resposta de um sistema SISO

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24 m=0 m=1 m=n-1

25 Resposta de um sistema SISO A resposta pode ser decomposta em duas partes: A resposta pode ser decomposta em duas partes: Uma que só depende do estado inicial Uma que só depende do estado inicial Outra que só depende das entradas Outra que só depende das entradas Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado inicial. Trata-se da resposta zero-input Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado inicial. Trata-se da resposta zero-input Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da entrada. Trata-se da resposta zero-state Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da entrada. Trata-se da resposta zero-state A resposta total é a soma das duas. A resposta total é a soma das duas. O facto de se poder separar a resposta nestas duas componentes, é uma característica importante dos sistemas LTI. O facto de se poder separar a resposta nestas duas componentes, é uma característica importante dos sistemas LTI.

26 Resposta de um sistema SISO Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0. Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0. O sistema é linear ! O sistema é linear !

27 Resposta Impulsiva

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29 Suponhamos a entrada impulso (função Delta de Kronecker) x(n)= n : Suponhamos a entrada impulso (função Delta de Kronecker) x(n)= n : x(0) = 1, x(n) = 0 n x(0) = 1, x(n) = 0 n Se assim for, a resposta do sistema dá exactamente h(n) Se assim for, a resposta do sistema dá exactamente h(n) É por isso que a h(n) se chama resposta impulsiva É por isso que a h(n) se chama resposta impulsiva

30 Exemplos SISO – circuito RC

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32 Exemplo : circuito RC

33 Exemplos SISO – circuito RC

34 Circuito RC : exemplo numérico R=1M R=1M C=1 µ F s s

35 Exemplos SISO – circuito RC

36 Exemplos SISO – circuito RC – resposta impulsiva

37 Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada contínua

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39 Exemplos SISO – conta bancária – resposta impulsiva

40 Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um empréstimo

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42 Exemplos SISO – FIR

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45 Sistemas MIMO A matriz A é quadradra (NxN) A matriz B tem dimensões (NxM) A matriz C tem dimensões (KxN) A matriz D tem dimensões (KxM)

46 Sistemas MIMO A matriz h tem dimensões (KxM) h(i,j) é a resposta impulsiva da saída y i à entrada x j, considerando as restantes entradas nulas

47 MIMO e SISO

48 Sistemas Lineares Contínuos SISO z : ReaisPositivos Reais N estado do sistema z. (t) é a derivada de z avaliada em t v : ReaisPositivos Reais é a entrada do sistema w: ReaisPositivos Reais é a saída do sistema

49 Sistemas Contínuos Em vez do estado seguinte, da-se a tendência do estado (a sua derivada). Em vez do estado seguinte, da-se a tendência do estado (a sua derivada). O estado seguinte não teria sentido uma vez que o sistema deixa de ser uma máquina de estados cujos estados mudam a intervalos regulares. O estado seguinte não teria sentido uma vez que o sistema deixa de ser uma máquina de estados cujos estados mudam a intervalos regulares. A resolução de um sistema contínuo, implica a resolução de equações diferenciais (e transformadas de Laplace). A resolução de um sistema contínuo, implica a resolução de equações diferenciais (e transformadas de Laplace). É no entanto possível aproximar um sistema contínuo por um sistema discreto. Este é o processo usado em simulações. É no entanto possível aproximar um sistema contínuo por um sistema discreto. Este é o processo usado em simulações.

50 Aproximação de Sistemas Contínuos – Circuito RC Conforme vimos no circuito R/C, o sistema contínuo é aproximado por um sistema discreto. Conforme vimos no circuito R/C, o sistema contínuo é aproximado por um sistema discreto.

51 Aprox. de Sistemas Contínuos RC : exemplo numérico (revisão) R=1M R=1M C=1 µ F s s

52 Aprox. de Sistemas Contínuos - RC (revisão)

53 Aprox. de Sistemas Contínuos - RC – resposta impulsiva (revisão)

54 Aprox. de Sistemas Contínuos - RC – resposta a uma entrada contínua (revisão)

55

56 Simulink Declarativo e não imperativo Declarativo e não imperativo Apenas de declaram blocos corrrespondentes a sistemas e as ligações entre eles Apenas de declaram blocos corrrespondentes a sistemas e as ligações entre eles Simulink faz a simulação do sistema contínuo, aproximando-o a um discreto. Simulink faz a simulação do sistema contínuo, aproximando-o a um discreto. Existem várias formas de fazer a aproximação e podem ser configuradas no solver do simulink. Existem várias formas de fazer a aproximação e podem ser configuradas no solver do simulink. Algumas formas são mais exactas que outras para certos sistemas. Algumas formas são mais exactas que outras para certos sistemas. Nos exemplos do lab, o solver existente por omissão é suficiente. Nos exemplos do lab, o solver existente por omissão é suficiente. Simulink também pode simular sistemas discretos. Simulink também pode simular sistemas discretos.

57 Simulink O bloco integrador é o bloco 1/s (tem a ver com transformadas de Laplace) O bloco integrador é o bloco 1/s (tem a ver com transformadas de Laplace)

58 Simulink Se a = 0.9 Se a = 0.9

59 Simulink Se a = -0.9 Se a = -0.9

60 Aproximação por equações às diferenças

61 Independentemente de delta, se a>0 o sistema diverge (é instável), se a<0 o sistema converge (é estável)


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