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2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11.

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1 2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11

2 MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico) Depth average theory NOTA: Universidade da Beira Interior

3 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Variáveis dependentes cota da sup. livre caudal mássico por unidade de largura cota do fundo equivalente aos sedimentos acumulados na coluna de água Variáveis dependentes Vectores de fluxoTermos de fonte MORFODINÂMICO Universidade da Beira Interior

4 O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia. Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à classe dos métodos de passo fraccionado (fractional-step) e garante uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.

5 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Diferenças Finitas PrevisãoCorrecção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção

6 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D

7 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)

8 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D

9 De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na presença de descontinuidades. Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD esquema primeira ordem (Godunov) simula mal (adoça) as descontinuidades esquema de segunda ordem (MacCormack) Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN

10 Universidade da Beira Interior A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas não aumenta no tempo, ou seja, CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não são decrescentes ou crescentes, respectivamente. esquema de MacCormack sem TVDesquema de MacCormack com TVD

11 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida, podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição de entropia: esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)

12 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983) escreve-se

13 Universidade da Beira Interior ESTABILIDADE NUMÉRICA O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos, tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs- Lewy. Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte forma: Passo de tempo Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior

14 Universidade da Beira Interior ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de forma ao sistema ser fisicamente conservativo. Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará escreve-lo na forma conservativa Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente conservativo.

15 Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito variáveis conservativas variáveis primitivas NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos mas o segundo não é fisicamente conservativo. Universidade da Beira Interior

16 Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque com Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções descontínuas de sistemas de leis de conservação hiperbólicos Universidade da Beira Interior

17 Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis conservativas Universidade da Beira Interior

18 Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis primitivas Universidade da Beira Interior

19 Formulações conservativas VS. não-conservativas facilmente se demonstra queCONCLUSÃO: Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do choque Universidade da Beira Interior

20 Exemplo:

21 MODELO NUMÉRICO conservação da massa da mistura Conservação da quantidade de movimento da mistura nas direcções x e y aproximações de Roe condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer correção TVD conservação da massa de sedimentos viscosidade artificial de Jameson Universidade da Beira Interior

22 VISCOSIDADE ARTIFICIAL A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial, mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.

23 Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL viscosidade artificial de Jameson (1981)

24 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na resolução numérica de equações. Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um esquema de divisão (splittingou pointwise approach); ii) aplicação de um esquema upwind. No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.

25 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os declives do fundo z b / x e z b / y, que necessitam ser discretizadas Discretização de derivadas no termo de fonte Propõe-se uma discretização upwind de acordo com a do vector fluxo

26 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o contorno desse domínio.

27 Universidade da Beira Interior O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve ser igual ao número de características que entram nesse ponto CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA O esquema MacCormak-TVD é upwind no tempo, pelo que em cada ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as características do sistema de equações. Assim, não são necessárias condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas do tipo:

28 Universidade da Beira Interior No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de características que entra em cada ponto do contorno depende do facto de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita. CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto. Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o número de Froude

29 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede de jusante: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede de montante: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1, 3 e 4

30 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede lateral direita: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede lateral esquerda: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1, 3 e 4

31 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede que constitui o alargamento:

32 Instalação Experimental Planta do canal localizado no LNEC Universidade da Beira Interior

33 Condições iniciais foram realizados 2 tipos de ensaios: fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes) Fundo de areia (baixa mobilidade) Fundo de pedra-pomes (elevada mobilidade) diâmetro mediano, d = 0.8 mm densidade, s = 2.65 diâmetro mediano, d = 1.3 mm densidade, s = 1.40 Universidade da Beira Interior

34 Resultados experimentais AREIA Vista frontal Universidade da Beira Interior

35 PEDRA-POMES Resultados experimentais Vista frontal

36 AREIA u(x)u(x) u(y)u(y) Planta Vista lateral zszs Resultados numéricos: Cota da sup. livre, z s Componentes da velocidade, u (x) and u (y) Universidade da Beira Interior

37 u(x)u(x) u(y)u(y) PEDRA-POMES zszs Planta Vista lateral Resultados numéricos: Cota da sup. livre, z s Componentes da velocidade, u (x) and u (y) Universidade da Beira Interior

38 Resultados numéricos Pedra-pomes Cota da sup. livre, z s T = 20 Areia Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente: A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico. O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta Universidade da Beira Interior

39 Resultados numéricos Pedra-pomes Componentes da velocidade, u (x) e u (y) T = 20 Areia Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes. A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes. u(x)u(x) u(y)u(y) Universidade da Beira Interior


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