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MACS II 2013/2014 Prof. António Paralta. Livros escolares 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 2 Texto Editores Elisabete Longo Isabel Branco.

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1 MACS II 2013/2014 Prof. António Paralta

2 Livros escolares 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 2 Texto Editores Elisabete Longo Isabel Branco

3 Carga horária 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 3 Disciplina bienal de componente de formação específica com carga horária semanal distribuída por 3 aulas de 90 minutos cada, isto é, 6 (seis) aulas de 45 minutos.

4 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 4 Alunos: Respeitar as regras do código de conduta; Respeitar as instruções dos professores e pessoal não docente; Respeitar os colegas; Estar com interesse nas aulas; Promover um bom clima de trabalho e estudo; Esforçar-se para atingir níveis de excelência; Preservar os espaços e os equipamentos.

5 Calculadora gráfica 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 5

6 Exemplos de Calculadora gráfica 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 6 Texas TI - Nspire Casio FX – CG 20

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8 Critérios Específicos de Avaliação de Matemática (Secundário) 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 8 DomíniosCompetênciasInstrumentos de avaliaçãoPesos Cognitivo Conceitos e procedimentos Raciocínio matemático Resolução de problemas Comunicação matemática Testes globalizantes80% Questões-aula e/ ou Trabalhos de investigação, com ou sem relatório e/ ou Trabalhos de pesquisa (por exemplo, Webquests), individuais ou em grupo 15% Comportamentos, atitudes e valores Responsabilidade Sociabilidade Participação Autonomia Auto-avaliação Observação directa (grelhas de registo) 5% Departamento de Matemática e Ciências Experimentais

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10 10 1º Período Nº de aulas 1.Modelos Matemáticos 1.1 Modelos de Grafos Apresentação dos objetivos do capítulo O que é um grafo? Aplicações 1 Trajeto e circuitos eulerianos 4 O problema do carteiro chinês Eulerização de grafos 8 Circuitos hamiltonianos O problema do caixeiro viajante 8 Árvores (árvore abrangente e o algoritmo de Kruskal) 8 Caminho crítico4 1.2 Modelos populacionais Conteúdos programáticos

11 Tema 3 Modelos matemáticos – 60 aulas Capítulo 2 Modelos de grafos – 32 aulas Desenvolver competências para determinar o essencial de uma determinada situação, de modo a desenhar esquemas apropriados a uma boa descrição. Procurar modelos e esquemas que descrevam situações realistas de pequenas distribuições. Tomar conhecimento de métodos matemáticos próprios para encontrar soluções de problemas de gestão. Encontrar estratégias passo-a-passo para obter possíveis soluções. Descobrir resultados gerais na abordagem de uma situação. Para cada modelo, procurar esquemas combinatórios (árvores) que permitam calcular pesos totais de caminhos possíveis. Encontrar algoritmos – decisões passo a passo para encontra resoluções satisfatórias. Discutir sobre a utilidade e viabilidade económica (e não só) da procura das soluções ótimas / 2014 MACS - Prof. António Paralta 11 Objetivos

12 Grafos Königsberg, por volta de 1735, cidade localizada na antiga Prússia (situada em território russo, atualmente tem o nome de Kaliningrado) era, e continua a ser, atravessada pelo rio Pregel. Ali existiam sete pontes entre duas pequenas ilhas que as ligavam entre si e a cada uma das margens da cidade. As pontes apresentavam uma configuração como podemos observar na figura a seguir / 2014 MACS - Prof. António Paralta 12

13 Teoria de Grafos ( 1736) Leonhard Euler (1707 – 1783) 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 13 O desafio dos habitantes de Königsberg : Será possível fazer uma visita a toda a cidade e regressar ao ponto de partida, atravessando cada ponte uma única vez?

14 Teoria de Grafos – Conceitos e Aplicações Teoria que ajuda a modelar muitas situações da vida do dia a dia: Ruas de uma cidade e seus respetivos cruzamentos; Ruas de sentido único e de dois sentidos; Percursos (ferroviários, aéreos, marítimos, rodoviários, etc); Canalizações (água e gás); Linhas de telefone e internet / 2014 MACS - Prof. António Paralta 14

15 Noções básicas Grafo – é uma representação esquemática constituída por conjuntos finitos de pontos, usualmente representados por V (vértices ou nós), e por segmentos, usualmente representados por A (arestas ou arcos), que unem os pontos. Grafo conexo – se existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices. Digrafo (ou grafo orientado) é um grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas. Grafo completo – é um grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros / 2014 MACS - Prof. António Paralta 15

16 Grafos 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 16 Grafo conexo Digrafos

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18 Noções básicas 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 18 Grau ou valência de um vértice é o número de arestas que nele concorrem. Grau par - se nele concorre um número par de arestas Grau ímpar - se nele concorre um número ímpar de arestas Passeio – é uma sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição. Trajeto (trilho) – é um passeio em que as arestas são todas distintas. Caminho – é um passeio em que os vértices são todos distintos. Circuito ( ou ciclo)- é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice (único que não se pode repetir). Trajeto de Euler ou euleriano – é um trajeto que percorre todas as arestas de um grafo uma única vez. Circuito de Euler ou euleriano – é um trajeto euleriano que começa e acaba no mesmo vértice.

19 Noções básicas 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 19 Regras para averiguar se um dado grafo tem um trajeto ou um circuito de Euler: Regra 1 – num grafo conexo podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem no máximo dois vértices de grau ímpar. Regra 2 - num grafo conexo admite um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par.

20 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 20 Atividade 1 (pág.10) Soluções possíveis: Padaria – AJKONFGHIPSREDMLBCQ – Padaria Padaria – ABLMNFEDCQRSGHOKJIP - Padaria Padaria – QCBLMDERSPIHGFNOKJA - Padaria Padaria – PIJKOHGSRQCDEFNMLBA - Padaria

21 2013 / 2014 MACS - Prof. António Paralta 21 Atividade 2 (pág 11)


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