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Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade.

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1 Fundamentos de Análise de Sinais Fundamentos de Probabilidade

2 Exemplos de Aplicações Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística. Análise de probabilidades em eventos de natureza não determinística. Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de falhas e confiabilidade em estruturas. Análise de reações químicas, de transferência de calor por radiação em superfícies rugosas. Análise de reações químicas, de transferência de calor por radiação em superfícies rugosas. Caracterização de erros dimensionais em peças fabricadas em série. Caracterização de erros dimensionais em peças fabricadas em série. Tratamento de imagens. Tratamento de imagens. Algoritmos de otimização pseudoaleatórios (Simulated Annealing, AG, PSO, etc) Algoritmos de otimização pseudoaleatórios (Simulated Annealing, AG, PSO, etc)

3 Definições para uma variável aleatória Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc) Conjunto: valores possíveis de serem assumidos por uma variável aleatória (Conj. de números reais, de números naturais, etc) Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória. Espaço amostral: conjunto dos valores observados com uma variável aleatória. Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória. Probabilidade: é definida como a chance de um determinado valor ser observado em uma variável aleatória. Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca.Probabilidade nula: O evento não ocorrerá nunca. Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.Probabilidade 100%: O evento ocorrerá com certeza.

4 Função distribuição probabilidade

5 Para qualquer evento x(k)

6 Função distribuição probabilidade Jogo de cara ou coroa X(Caras)=a X(Coroas)=b

7 Esperança Função distribuição probabilidade

8 Função densidade probabilidade uniforme

9 Função distribuição probabilidade Função probabilidade uniforme Média Variância

10 Função distribuição probabilidade Mudança de variáveis

11 Função distribuição probabilidade Seno Variável aleatória com distribuição uniforme

12 Função distribuição probabilidade Seno

13 Momentos Estatísticos

14

15 Desigualdade de Chebyshev

16 Função probabilidade desconhecida Função probabilidade normal 95% dos valores possíveis de uma variável aleatória com FDP normal estão dentro do intervalo de +/-2 s

17 Duas Variáveis Aleatórias Função probabilidade

18 Duas Variáveis Aleatórias Função densidade probabilidade Variáveis estatisticamente independente

19 Duas Variáveis Aleatórias Esperança e Coeficiente de Correlação

20 Duas Variáveis Aleatórias Esperança e Coeficiente de Correlação Variáveis estatisticamente independente Não significa que as variáveis são independentes

21 Duas Variáveis Aleatórias Momentos estatísticos e funções características

22 Duas Variáveis Aleatórias Momentos estatísticos e funções características

23 Duas Variáveis Aleatórias Momentos estatísticos e funções características

24 Distribuição Normal (Gaussiana) A variável aleatória x(k) possui uma distribuição normal se:

25 Distribuição Normal (Gaussiana)

26 Princípios estatísticos - Em análise de sistemas físicos em geral se tem variáveis aleatórias observadas através de amostras finitas. Estimadores Propriedades estatísticas Erros

27 Princípios estatísticos Estimadores Propriedades estatísticas Estimador com erro de tendência

28 Princípios estatísticos Índices de qualidade dos estimadores Sem erro de tendência O estimador 1 é dito melhor que o estimador 2 Consistente

29 Princípios estatísticos Avaliação do estimador da média

30 Princípios estatísticos Avaliação do estimador da variância

31 Princípios estatísticos Avaliação do estimador da variância

32 Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal

33 Funções Densidade Probabilidade Distribuição Normal Unimodal Pontos de inflexão Monotônica

34 Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado N=número de variáveis=número de graus de liberdade

35 Funções Densidade Probabilidade Distribuição Qui-quadrado -Caso geral da função distribuição GAMA -A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=2 (Distribuição de Rayleigh): -Distribuição bidimensional -Valores limites da distribuição de um ruído de banda estreita quando a largura de banda tende a zero -A raiz quadrada da distribuição qui-quadrada com n=3 (Distribuição de Maxwell): -Distribuição tridimensional -Se aproxima da distribuição normal quando o número de graus de liberdade aproxima do infinito.

36 Funções Densidade Probabilidade Distribuição T-Student N=número de variáveis=número de graus de liberdade

37 Funções Densidade Probabilidade Distribuição F N=número de variáveis=número de graus de liberdade

38 Distribuição de amostragens e exemplos Seja x 1, x 2, x 3,…,x N N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x): Seja x 1, x 2, x 3,…,x N N amostras observadas da variável aleatória x com probabilidade p(x): A média estimada é uma variável aleatóriaA média estimada é uma variável aleatória A variância estimada é uma variável aleatóriaA variância estimada é uma variável aleatória Outros estimadores também serão variáveis aleatóriasOutros estimadores também serão variáveis aleatórias

39 Distribuição de amostragens Distribuição da média com a variância conhecida Se N é grande p(x) se aproxima da distribuição normal Teorema do limite central

40 Intervalos de Confiança Antes da amostragem Após a amostragem

41 Intervalos de Confiança Com variância conhecida Com variância desconhecida

42 Intervalos de Confiança


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