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TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS DISCIPLINA INTEGRADORA II A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E A ÁRVORE BINÁRIA.

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1 TEOREMAS DE HAGA E A DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM n PARTES IGUAIS DISCIPLINA INTEGRADORA II A ÁRVORE DAS DOBRADURAS E A ÁRVORE BINÁRIA

2 Você pode dividir o lado do quadrado de papel em 2 partes iguais? Sim, é fácil!

3 E em 4? Também é fácil!

4 Agora divida em 3... É possível dividir em 3, ou mesmo em um número inteiro qualquer, somente dobrando. Vamos ver agora... É difícil?

5 1º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se T é a intersecção do lado CD com o lado AD, após a dobra que faz coincidir o vértice C com o ponto P, então |DT| = 1/3. Divisão em 3 partes (trisecção) P D C B A A B P C D T E

6 2º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, se S é o ponto onde se encontra o vértice B, após a dobra CP, e T é o ponto onde inicia a dobra que faz coincidir D com S, mantendo o vértice C fixo, então |DT| = 1/3. Divisão em 3 partes (trisecção) A D D D B A A C P P P CC T S S T

7 3º Teorema de Haga: Dado o quadrado unitário ABCD e P o ponto médio de AB, consideremos a dobra que leva o ponto P sobre o lado BC, ao mesmo tempo que o vértice C é levado sobre o lado AD. Se T é o ponto do lado AD onde o vértice C se encontra após a dobra, então |DT| = 1/3. Divisão em 3 partes (trisecção) A A B C D P P D T E

8 Divisão em n partes A seguir...

9 Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua Paralela: é a que faz juntar o vértice A com o ponto P, mantendo o lado AB paralelo ao lado CD do quadrado. Obtemos assim o ponto M, intersecção da dobra com o lado AD. P D C B A M P D C B A P D C B A M AM = 1/(2m) AD = 1 AP = 1/m

10 Dado um segmento AP qualquer do lado AD do quadrado unitário ABCD, vamos estabelecer dois tipos de dobras: Paralela e Oblíqua P D C B A BN = 1/(2m-1) AD = 1 AP = 1/m Oblíqua: é a que faz juntar o vértice C com o ponto P, tornando o lado BC oblíquo em relação aos outros. Obtemos assim o ponto N, intersecção do lado BC com o lado AB, após a dobra. P D C B A N P D C B A N

11 PROPOSIÇÃO: A partir de um segmento inicial de medida 1/m, depois de uma dobradura paralela, ele se reduzirá à metade de seu comprimento, passando o segmento derivado a medir 1/(2m); depois de uma dobradura oblíqua, o segmento derivado passará a medir 1/(2m-1). |AP| = 1/m |BN| = 1/(2m-1) |AM| = 1/(2m) P O

12 P D C B A N Demonstração de: |AP| = 1/m |BN| = 1/(2m-1) x y E

13 Ex.: Dividir o lado do quadrado em 14 partes iguais. 14 = 2 x 7P 7 = 2 x 4 – 1O 4 = 2 x 2P 2 = 2 x 1P 1 1/14 1/7 1/4 1/2

14 TEOREMA: Em um número com representação binária, associando a cada dígito 1 uma dobradura paralela e a cada dígito 0 uma dobradura oblíqua, a seqüência de dobraduras que leva do lado do quadrado a 1/n dele é dada pela seqüência dos dígitos da representação binária do número n-1.

15 A Árvore das Dobraduras p O OO O O OOPP PP P PP 1/71/6 1/3 1/5 1/4 1/2 1 1/11 1/101/9 1/8 1/141/13 1/12 1/161/15 1/2k+2 OP 1/k+1 1/2k+1 1/2m OP 1/m 1/2m-1

16 A Árvore Binária n2n 2 n n n k+1 01 k 2k

17 1/2 P O OO O O OOPP PP P PP 1/71/6 1/3 1/5 1/4 1 1/11 1/101/9 1/8 1/141/13 1/12 1/161/15 A Árvore Binária A Árvore das Dobraduras Representação binária de n-1 Seqüência de dobraduras para obter 1/n Ex.: (13) 10 = (1101) 2 Ex.: 1/14 => P P O P

18 Referências: Revista do Professor de Matemática: nº 16 e nº 50


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