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9-1 Estatistica Teste de Hipóteses de uma amostra Prof. Helcio Rocha.

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1 9-1 Estatistica Teste de Hipóteses de uma amostra Prof. Helcio Rocha

2 9-2 TH – um caso Uma indústria fabrica carcaças de motores elétricos. O diâmetro interno DI é uma variável crítica. Valores diferentes de 150,00 mm inviabilizam seu uso A cada hora retira-se amostra de n = 9 carcaças e mede-se os respectivos DIs Cada amostra retirada dá origem a um TH: H 0 μ = 150 mm o processo está sob controle H 1 μ 150 mm o processo está fora de controle, produzindo diâmetros elevados

3 Erros no TH E se formos levados a rejeitar H 0, estando o processo na verdade sob controle? ERRO TIPO I (alarme falso) Estaremos rejeitando produtos cuja variabilidade está sob controle Quais são os custos decorrentes deste erro? A probabilidade do erro tipo I é denominada alfa 9-3

4 Erros no TH E se formos levados a não rejeitar H 0, estando o processo na verdade fora de controle? ERRO TIPO II (falso positivo) Estaremos aceitando produtos cuja variabilidade está fora de controle Quais são os custos decorrentes deste erro? A probabilidade do erro tipo II é denominada beta 9-4

5 Cenários no TH 9-5 Possíveis consequências do TH Situação real DecisãoH 0 VerdadeiraH 0 Falsa Não rejeitar H 0 OKErro Tipo II (falso positivo) Rejeitar H 0 Erro Tipo I (alarme falso) OK

6 Erros no TH Alfa, beta e o tamanho da amostra n estão todos relacionados A prática usual na indústria e na pesquisa é estabelecer os valores de alfa e de n, de modo que beta fica determinado Para erros tipo I com consequências mais sérias, selecione menores valores de α. Escolha, então, um n com base em considerações de tempo, custo e outros fatores. (Triola) 9-6

7 Distribuição das médias amostrais Supondo H 0 verdadeira, esta é a curva de distribuição das médias amostrais com n = µ = 150 H 0 : μ = 150 H 1 : μ 150 O desvio-padrão (erro padrão) desta curva é

8 TH e estatística t Para realizarmos o TH, convertemos as médias amostrais na estatística t 9-8 Rejeita H 0 Não rejeita H 0 t c Valores críticos t A distância entre a média amostral e µ é convertida em No. de erros-padrão Rejeita H 0 t c

9 Alfa e t crítico Suponha que a fábrica de carcaças tenha estabelecido a meta de alfa igual a 1% = 0,01 A partir de alfa e do No. de graus de liberdade (n-1), encontramos o valor crítico da estatística t (t c ); Podemos usar a tabela ttabela t Podemos usar no Excel a função INVT: = INVT (alfa;g.l.) = INVT (0,01;8) = 3, Obs: se for usar INVT em TH unicaudal, duplique alfa

10 Tabela t 9-10

11 Estatística t versus t crítico A próxima etapa é converter a média amostral em t (estatística t) Caso a estatística t ultrapasse t c, rejeitaremos H 0 Caso a estatística t não ultrapasse t c, não rejeitaremos H

12 Média amostral estatística t Considere que a última amostra tenha tido média = 150,20 mm e s = 0,15 mm. Podemos confirmar que o processo está sob controle? Podemos interpretar que a diferença entre 150,20 e 150,00 é resultante do comportamento aleatório das variáveis do processo? 9-12 Para a análise, esta diferença será transformada em estatística t

13 9-13 Como t ultrapassa o valor crítico (t c = 3,36), consideramos que a distância entre 150,20 e 150,00 é significativa Assim, é pouco provável que se possa extrair uma amostra com média de 150,20 a partir de uma população de µ = 150,00. Então, µ 150,00. Estatística t

14 9-14 Análise do TH 9-14 tc tc t 3,4 4,0 t cai numa região de rejeição de H 0 Há evidência suficiente para garantir que a média populacional de DIs é diferente de 150,00 mm

15 9-15 Passos do TH usando t 1. Construa as hipóteses H 0 e H 1 2. Defina e o tamanho da amostra, n 3. Determine o valor crítico t c 4. Colete os dados e calcule a média amostral 5. Calcule a estatística t 6. Se o módulo de t for maior do que o módulo do tc, rejeite H 0 ; caso contrário, não rejeite H 0.

16 Trabalhando com outro valor de t c Use a tabela t para responder às questões abaixo:tabela t E se no caso dos DIs das carcaças, tentando minimizar o erro tipo I... trabalhássemos com alfa igual a 0,05? Além disso, e se aumentássemos n para 15? Observe. Como estas decisões impactariam no valor crítico t c ? 9-16

17 Monitorando um processo com menor variabilidade Recalcule a estatística t para responder à questão abaixo:estatística t E se no caso dos DIs das carcaças o desvio- padrão amostral fosse menor? Suponha s = 0,14 mm. A média amostral de 150,20 mm acarretaria numa rejeição mais clara de H 0 ? 9-17

18 p-value no TH Com a difusão de pacotes de Estatística, tem crescido a realização de TH mediante a análise do chamado p-value. O que é o p-value? Voltemos ao caso da fabricação de carcaças de motores elétricos...onde a média amostral (150,20 mm) está 4,0 desvios-padrão acima do valor afirmado como média (máx.) populacional (150,00 mm) 9-18

19 9-19 p-value 0 t = 4,0 p-value Suponha que H 0 seja verdadeira. p-value é a probabilidade de se obter uma estatística t mais extrema do que a resultante da amostra Quanto maior é a estatística t, menor é o p-value O p-value corresponde a área colorida na figura

20 9-20 p-value e alfa Alfa e p-value são medidas da probabilidade de se cometer o erro tipo-I Alfa é o risco (máximo) que se está disposto a correr; também é conhecida como significância p-value é o risco efetivo de se cometer o erro tipo-I (de acordo com a amostra) Se o p-value é inferior ao alfa, rejeitamos H 0 ; caso contrário, não rejeitamos H 0 Ou, simplesmente, rejeita-se H 0 sempre que o p-value for reduzido, não necessitando a comparação com alfa p-value é o nível de significância observado

21 Calculando o p-value O p-value pode ser calculado mediante a função DISTT do Excel: = DISTT(x; graus de liberdade; caudas) = DISTT (4,0; 8; 2) = 0,0039 = 0,39% Como o p-value é muito pequeno, somos levados a rejeitar H 0 e a confirmar H 1 μ 150 mm 9-21

22 p-value e alfa 9-22 Este modelo de planilha permite simular um TH, tanto unicaudal quanto bicaudal; tanto para distribuição t quanto para normal. No gráfico: Em verde escuro, região do P-VALUE; em vermelho, região do ALFA

23 9-23 Passos do TH com p-value 1. Construa as hipóteses H 0 e H 1 2. Defina e o tamanho da amostra, n 3. Colete os dados e calcule a média amostral 4. Calcule a estatística t 5. A partir de t e do gl, encontre o p-value usando soft estatístico 6. Se o p-value for menor do que o, rejeite H 0 ; caso contrário, não rejeite H 0


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