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1 ESTATÍSTICA. 2 UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis ESTATÍSTICA Ass 02: Regressão Múltipla.

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1 1 ESTATÍSTICA

2 2 UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis ESTATÍSTICA Ass 02: Regressão Múltipla

3 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular a equação de regressão múltipla de Y sobe X e Z utilizando o critério dos mínimos quadrados Grafar a relação de Y para X quando se mantém constante Z Usar o plano de regressão para fazer predições

4 4 SUMÁRIO 1- Introdução 2. O Modelo de Regressão 3. O Plano Ajustado de Mínimos Quadrados

5 5 1. Introdução A regressão múltipla nada mais é do que a regressão simples quando se tem em conta mais de um fator X. É a técnica adequada quando desejamos pesquisar o efeito simultâneo de vários fatores sobre Y. A regressão múltipla reduz a tendenciosidade que se verificaria no caso de uma regressão simples que não levasse em conta fatores estranhos.

6 6 Exemplo: Suponhamos que as observações sobre fertilizante e safra já estudadas anteriormente tivessem sido feitas em sete postos agrícolas diferentes em todo o país. Mantidas que fossem as condições do solo e a temperatura, ainda poderíamos perguntar se parte da flutuação de Y não seria explicada pela variação do nível pluviométrico nas diferentes áreas. Poderemos fazer melhor previsão se levarmos em conta tanto o fertilizante como o nível pluviométrico. Assim é que a tabela 1, a seguir, dá os níveis pluviométricos observados, juntamente com as observações originais sobre a safra e fertilizante.

7 7 Safra (bu/acre) Tabela 1 Observações sobre Safra,Fertilizante e Nível Pluviométrico Fertilizante (lb/acre) Nível Pluviométrico (pols)

8 8 a) Na figura a seguir, atribua a cada ponto seu nível pluviométrico Z. Então, considerando apenas os pontos com baixo nível pluviométrico (Z=10), ajuste a olho uma reta. Repita então o experimento para os pontos com nível pluviométrico moderado (Z=20), e, finalmente, para os pontos com alto nível pluviométrico (Z=30).

9 9 Fertilizante (lb/acre) Safra (bu/acre) Y X Z= Z=30 SOLUÇÃOSOLUÇÃO Fig 1- Como a safra depende de duas variáveis (fertilizante X e nível pluviométrico Z)

10 10 b) Supondo agora constante o nível pluviométrico, estime qual seria o coeficiente angular da safra por libra adicional de fertilizante. Ou seja, qual seria o aumento de safra por libra adicional de fertilizante? Solução Note-se que o maior coeficiente angular na Fig.1 é 10/200=0,05 para a reta Z=10, enquanto que o menor coeficiente angular é 10/300=0,033 para a reta Z=30: em média, tais coeficientes são de cerca de 0,04 bushels por libra de fertilizante.

11 11 Fertilizante (lb/acre) Safra (bu/acre) Y X Z= Z=30 Maior b=10/200=0,05 Menor b=10/300=0,033 b médio= 0,04 bu/lb Fig 2- Aumento de safra por libra adicional de fertilizante (Z constante)

12 12 c) Mantido constante o fertilizante, estime o aumento de safra por polegada adicional de nível pluviométrico. Solução Mantenhamos constante o fertilizante, no centro dos dados, por exemplo onde X=400. Uma reta tracejada mostra a distância vertical entre a reta correspondente ao nível pluviométrico Z=10 e a reta correspondente a Z=30 – cerca de 15 bushels. Como este aumento de 15 bushels decorre de um aumento de 20 polegadas do nível pluviométrico, isto significa que a chuva aumenta a safra em cerca de 15/20 bushels por polegada de nível pluviométrico.

13 13 Fertilizante (lb/acre) Safra (bu/acre) Y X Z= Z=30 d=15 Fig 3- Aumento de safra por polegada adicional de nível pluviométrico (X constante)

14 14 d) Estime a safra no caso de o nível de fertilizante ser de 400 libras e o nível pluviométrico de 10 polegadas. Solução Na figura 1 utilizamos a reta correspondente a Z=10, no ponto onde X=400, obtendo uma safra = 55 bushels.

15 15 Y X Z= Z=30 55 X=400 lb; Z=10 pol Safra = 55 bu Fig 4- Estimativa da safra para X=400 libras e Z=10 polegadas

16 16 2. O Modelo de Regressão Devemos considerar agora a regressão da safra Y sobre duas variáveis independentes – fertilizante X e nível pluviométrico Z. Suponhamos que a relação seja da forma Valor esperado de Y = + X + Z Geometricamente, esta equação é um plano tridimensional (Fig. 2)

17 17 Fig.5 - Dispersão dos pontos observados em torno do verdadeiro plano de regressão Fertilizante X Nível Pluviométrico Z Safra Y Y observado Valor esperado de Y = + X + Z (X,Z) e

18 18 Naturalmente, a safra efetivamente observada é quase sempre diferente da previsão: a diferença é o erro aleatório. Assim, qualquer valor observado pode ser expresso como seu valor esperado mais um erro aleatório e : Y = + X + Z + e Com as mesmas hipóteses sobre e do assunto anterior.

19 19 coef. ang. Z X Y 0 L XY L ZY Fig.6 - Um plano como malha de retas paralelas (intercepto)

20 20 pode ser interpretado geometricamente como o coeficiente angular do plano quando nos deslocamos na direção X, mantendo Z constante. Costuma-se designar como efeito marginal do fertilizante X sobre a safra Y. Analogamente, é o coeficiente angular do plano quando nos deslocamos na direção Z, mantendo X constante; é o efeito marginal de Z sobre Y.

21 21 2. O Plano Ajustado de Mínimos Quadrados Tal como na regressão simples, o problema é que o estatístico não conhece e verdadeira relação (o verdadeiro plano), devendo, por isso, ajustar um plano estimado, da forma a – intercepto do plano ajustado no eixo Y. b – coeficiente angular do plano ajustado, na direção de X com Z constante. c – coeficiente angular do plano ajustado, na direção de Z com X constante.

22 22 Equações Estimadoras (Critério dos Mínimos Quadrados)

23 23 Tabela 2 Cálculos para a Regressão Múltipla de Y sobre X e Z Dados Y X y x xy x2x2 DesviosProdutos Z z zy z2z2 xz

24 24

25 25 Exemplo: Faça o gráfico da relação de Y para X dada por quando se mantém constante o nível pluviométrico em: i) Z=10; ii) Z=20; iii) Z=30 Solução:

26 26 Fig.7 - A regressão múltipla ajusta os dados com retas paralelas Fertilizante (lb/acre) Safra (bu/acre) Y X Z=10 Z=20 Z=30

27 27 PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS. BOA SORTE!


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