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Um pouco de Geometria Tropical Semana da Matemática 2013 UFJF Frederico Sercio Feitosa DM/UFJF.

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1 Um pouco de Geometria Tropical Semana da Matemática 2013 UFJF Frederico Sercio Feitosa DM/UFJF

2 Geometria Tropical

3 Que figuras são essas?

4 RETA TROPICAL

5

6 Geometria Tropical Por quê tropical ? Seria devido a existência de formas exóticas ? A álgebra tropical era conhecida como álgebra max-plus. Nome tropical dado por pesquisadores de informática da Universidade Paris 7 Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009)

7 O mundo clássico pode ser degenerado até o mundo tropical. Um enunciado tropical tem muita chance de possuir um enunciado clássico similar. Os objetos tropicais são lineares por partes, logo mais simples de estudar que os seus análogos clássicos. Objetivo: Estudar objetos simples, enunciar teoremas sobre objetos complicados.

8 Álgebra Tropical Duas operações (tropicais) no conjunto dos números reais :

9 Muitas propriedades em comum com as operações clássicas dos números reais. São comutativas, associativas e vale a distributividade. Duas diferenças: Qual é o elemento neutro da adição tropical?

10 Para isto estendemos o conjunto dos números reais. Temos: é o conjunto dos números tropicais.

11 Um número real tem simétrico em relação a adição tropical ? Consequência: não está definida a subtração tropical. Observação: a adição tropical é idempotente, ou seja,

12 0 é o elemento neutro da multiplicação tropical. Abreviamos por Cuidado!!!

13 Polinômios Tropicais

14 Raízes Um polinômio tropical é uma função afim por partes. Uma raiz de P(x) é qualquer número x 0 para o qual o gráfico de P(x) tenha uma quina

15 Raízes de Definição: As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são os números tropicais x 0 para os quais existem i e j distintos tais que P(x 0 ) = a i + ix 0 = a j + jx 0

16 Curvas tropicais Polinômio tropical em duas variáveis: Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das quinas dessa função.

17 Exemplo: Devemos resolver o sistema de inequações: A reta tropical é constituída das três semi-retas

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19 Exemplo:

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21 Interseções tropicais

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23 Bibliografia: Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática Universitária nº 46 (2009) Gathmann, A. Mikhalkin, G.


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