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DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006.

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2 DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006

3 Divisores de um número Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero: 3 é divisor de 15 15 é divisível por 3 15 é múltiplo de 3

4 Divisores de um número Quais são os divisores de 3 ? 1 e 3 Quais são os divisores de 5 ? 1 e 5 Quais são os divisores de 6 ? 1, 2, 3 e 6 Quais são os divisores de 28 ? 1, 2, 4, 7,...

5 Número primo Um número é primo se só tem dois divisores: a unidade e ele próprio Caso contrário, o número é composto

6 Primo ou Indecomponível 15 é composto. Pode decompor-se: 15 = 3 x 5 7 é primo. Não se pode decompor : 7 = 7

7 Alguns números primos

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9 Mais números primos

10 Primo = Importante = Primeiro Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos: 220= 2 x 110 = 2 x 2 x 55 = 2 x 2 x 5 x 11

11 Decomposição em factores primos 220 = 2 x 2 x 5 x 11 11 55 2110 2220 5 11 1

12 Decomposição em factores primos 220 = 2 x 2 x 5 x 11 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220 Quais são os divisores de 220?

13 Divisores de um número Quais são os divisores de 3 ? 1 e 3 Quais são os divisores de 5 ? 1 e 5 Quais são os divisores de 6 ? 1, 2, 3 e 6 Quais são os divisores de 28 ? 1, 2, 4, 7,...

14 Número perfeito Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus divisores próprios Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6 1 + 2 + 3 = 6

15 Decomposição em factores primos de 28 28 = 2 x 2 x 7 1 7 214 228 7 Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28 1+2+4+7+14=28

16 Desde quando se conhecem e estudam os números primos?

17 O osso de Ishango

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20 Babilónios, Egípcios e Gregos 2006 D.C.A.C. 200006000 Babilónios Egípcios Conheciam o Teorema de Pitágoras Gregos Pitágoras (569 – 475) Platão (427– 347) Aristóteles (384 – 322) Euclides (325 – 265)

21 Babilónios Escrita cuneiforme Sistema de numeração posicional de base 60 (3000 a.c.) Conheciam o teorema de pitágoras (1850 a.c.)

22 Babilónios

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24 Egípcios Números por hieróglifos (3000 a.c.) Sistema de numeração desapropriado para cálculo numérico Papirus de Rhind (1650 a.c.)

25 Egípcios

26 Gregos (600 a.c.- 300 a.c.) Pitágoras (569 a.c. – 475 a.c.) Platão (427 a.c. – 347 a.c.) Aristóteles (384 a.c. – 322 a.c.) Euclides (325 a.c. – ~265 a.c.)

27 Gregos

28 Pitágoras de Samos (569 A.C. – 475 A.C.) Fundou uma escola de filosofia e religião. Os pitagóricos conheciam diversas propriedades dos números: estudaram as noções de divisor e de número perfeito.

29 Platão (427 A.C. – 347 A.C.) Conhecia o trabalho de Pitágoras (399 a.c.). Fundou a Academia em Atenas (387 a.c.). O seu nome está ligado aos sólidos platónicos.

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31 Aristóteles (384 A.C. – 322 A.C.) Foi aluno de Platão (367 a.c.). Nos seus trabalhos são evocados por diversas vezes os números compostos e primos.

32 Euclides de Alexandria (325 A.C. – 265 A.C.) Mais importante matemático da antiguidade. Escreveu Os Elementos, mais importante obra matemática da antiguidade.

33 Os Elementos Uma página de Os Elementos numa tradução latina publicada em1482.

34 Os Elementos O que diz Euclides: Um número é primo se só pode ser medido pela unidade e por ele próprio Caso contrário, o número é composto

35 Os Elementos 15 = 5 = O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4: 4 =

36 Os Elementos 15 = 5 = O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15): 3 =

37 Os Elementos Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15

38 Os Elementos Se um número primo divide um produto de dois números, então divide, pelo menos, um deles. (Princípio de Euclides) Todos os números naturais ou são primos ou podem ser expressos como produto de primos de uma forma única, para além da ordem com que são escritos. (Teorema fundamental da aritmética) Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

39 Há sempre novos primos

40 Os Elementos Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.

41 Há sempre novos primos 235...

42 Há sempre novos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 Como nenhum dos primos anteriores divide 30031 terá de existir um novo primo

43 Crivo de Eratóstenes 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100

44 Primos enormes Com 50 algarismos: Com 100 algarismos: Com 200 algarismos:

45 Primos enormes Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que até 1951 foi o maior primo conhecido: 2 127 -1 = 17014118346046923173168730 3715884105727 Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica: (2 148 +1)/17 = 209889366574405864861512 64256610222593863921

46 Primos enormes 909 526 algarismos Primo de Mersenne (1588-1648).

47 Primos de Mersenne Os primos da forma 2 p - 1 com p primo, são chamados primos de Mersenne (1588-1648). M p =

48 Números de Mersenne 2 PrimoNúmero de Mersenne 2 2 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3 52 5 – 1 = 31 112 11 – 1 = 2047 2047 = 89 x 23

49 Primos de Mersenne Os primeiros primos de Mersenne eram conhecidos desde a antiguidade: Nºp M p ano 123 237 3531 47127 5138191 1461 617131071 1588 719524287 1588

50 Primos de Mersenne Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257 Faltavam: p = 61, 89, 107

51 Primos de Mersenne Nºp Algarismos de M p Ano 373021377909526 Jan. 1998 3869725932098960 Jun. 1999 39134669174053946 Nov. 2001 40?209960116320430 Nov. 2003... 43?304024579152052 Dez. 2005

52 Primos de Mersenne e números perfeitos Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne: p M p Número perfeito 22 2 -1= 32 1 x3= 6 32 3 -1= 72 2 x7= 28 52 5 -1= 312 4 x31= 496 72 7 -1= 1272 6 x127= 8128

53 Primos de Mersenne e números perfeitos Mais alguns números perfeitos: pNúmero perfeito 1333550336 178589869056 19137438691328 312305843008139952128

54 Queres ficar famoso? Basta saber responder a uma destas questões: Haverá um número infinito de primos de Mersenne? Haverá um número infinito de números compostos de Mersenne? Haverá números perfeitos ímpares?

55 Um problema perfeito Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8. Números perfeitos 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128

56 BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE


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