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Capitulo 2 - Cinemática do ponto material Mecânica I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I.

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1 Capitulo 2 - Cinemática do ponto material Mecânica I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

2 Movimento uniforme s = s o + v.t s = posição em um instante qualquer (m, km) s o = posição inicial (m, km) v = velocidade (m/s, km/h) t = tempo (s, h) No movimento uniforme a velocidade é constante em qualquer instante DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

3 Exercício 1: a) Trace o diagrama horário da posição da moto b) Identifique o movimento da moto c) Obtenha a equação horária s-t d) A velocidade da moto e a posição da moto ao fim de 8 s DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

4 Encontro entre dois corpos em movimento uniforme Para determinar o instante em que dois corpos se encontram devemos igualar as funções das posições dos corpos. Substituindo o instante encontrado, numa das funções horárias, determinaremos a posição onde o encontro ocorreu. s A = s A0 + v A.t A s B = s B0 + v B.t B Na posição do encontro: s A = s B DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

5 Movimento uniforme Dois corpos deslocam-se sobre a mesma trajectória, obedecendo às funções horárias: s A = 5+ 2.t e s B = t Determine o instante e a posição do encontro. Exercício 2: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

6 Movimento uniformemente variado (M.U.V) Se no movimento de um corpo, em intervalos de tempo iguais ele sofrer a mesma variação da velocidade, dizemos que realiza um movimento uniformemente variado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

7 Movimento uniformemente variado (M.U.V) s = posição num instante qualquer (m, km) s 0 = posição no instante inicial (m, km) v o = velocidade no instante inicial (m/s, km/h) a = aceleração (m/s 2, km/h 2 ) t = tempo (s, h) s = s 0 + v 0.t + 1/2 a.t 2 DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

8 Movimento uniformemente variado (M.U.V) Posição em função do tempo: s = s 0 + v 0.t + 1/2 a.t 2 Velocidade em função do tempo: v = v 0 + a.t DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

9 Equação de Torricelli A equação de Torricelli relaciona a velocidade com o espaço percorrido pelo corpo. v 2 = v o a. Δs Δs = distância percorrida no intervalo considerado (m, km) Δs = s - s 0 v = velocidade no final do intervalo (m/s, km/h) v o = velocidade no início do intervalo (m/s, km/h) a = aceleração (m/s 2, km/h 2 ) DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

10 Exemplo de Aplicação da Equação de Torricelli Exercício 3: Um carro de corrida tem velocidade de 28 m/s. Em determinado instante, os travões são accionados produzindo um retardamento de -5 m/s 2. Quantos metros o carro percorre até atingir a velocidade de 13 m/s ? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

11 Exercício 4: Observe o gráfico x-t e procure associar os pontos 1, 2 e com as figuras A, B e C. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

12 Exercício 5: A figura mostra dois tractores em movimento. a) Compare as velocidades dos tractores. b) Identifique o movimento dos tractores. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

13 Queda livre : Denomina-se queda livre aos movimentos de subida ou de descida que os corpos realizam no vácuo. Estes movimentos são descritos pelas mesmas equações do movimento uniformemente variado. A aceleração do movimento é a aceleração da gravidade g. g Terra = - 10 m/s 2 v = v o + g.t s = s o + v 0.t + 1/2. g.t 2 v 2 = v o g. Δs S [m] g = -10 m/s 2 So So vo vo Referência DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

14 Exercício 6: Uma menina, na margem de um rio, deixa cair uma pedra que demora 5 s para chegar à superfície da água. Sendo a aceleração local da gravidade igual a 10 m/s 2, determine a distância percorrida pela pedra. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

15 Exercício 7: A figura fornece a velocidade de uma pedra nos primeiros 2 segundos. Qual será a velocidade da pedra nos instantes 3 s, 4 s e 5 s ? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

16 Daremos ênfase, neste módulo, ao estudo das propriedades geométricas dos diagramas horários, principalmente ao significado das áreas (entre o gráfico e o eixo dos tempos) nos diagramas horários da velocidade e da aceleração para um movimento. O deslocamento escalar (s) num certo intervalo de tempo (t), para um movimento qualquer, pode ser determinado através do cálculo da área existente entre o gráfico v-t e o eixo dos tempos, limitada pelo intervalo de tempo escolhido. Observe isso no diagrama mostrado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

17 O diagrama horário da velocidade pode indicar que o movimento é composto por etapas, de tal forma que podemos, em cada trecho, identificar as suas características e também calcular os seus respectivos deslocamentos escalares. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

18 A área calculada no diagrama horário da aceleração, entre o gráfico e o eixo dos tempos, limitada por um t, indica a variação de velocidade ocorrida naquele intervalo. Observação: a área sob o gráfico espaço x tempo não tem significado físico prático. Logo, não há razão para efectuarmos seu cálculo. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

19 No movimento uniforme: o declive da recta inclinada do gráfico s x t indica o valor da velocidade escalar constante do corpo. Ou seja: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

20 Num movimento variado o declive da recta tangente ao gráfico s x t, num certo instante t, representa numericamente a velocidade escalar do corpo naquele instante. Isto é: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

21 O cálculo do declive num gráfico v x t leva-nos a encontrar a aceleração escalar do movimento (aceleração que ocorre num determinado instante). DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

22 Cálculo de áreas: Gráfico v x t Gráfico s x t Gráfico a x t Declives: Gráfico v x t DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

23 Exercício 8 O gráfico a seguir indica como varia a velocidade escalar de uma composição de metro, em função do tempo, durante o seu deslocamento entre duas estações. Com base no gráfico: a) Calcule o deslocamento escalar da composição entre as duas estações. b) Construa o diagrama horário da aceleração escalar para esse movimento. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

24 Resolução a)A área do trapézio, sob o gráfico v x t dado, representa o deslocamento escalar ocorrido, isto é: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

25 Resolução Nos primeiros 15 s: M.U.V. Entre os instantes 15 s e 45 s : M.U a = 0 Nos últimos 15 s: M.U.V. A partir desses valores, temos: b) Primeiro, vamos calcular a aceleração escalar nas três etapas do movimento. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

26 Vector Posição: é o vector que define a posição de uma partícula relativamente a um referencial ortonormado xy. P y X O Trajectória + DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

27 z X + Trajectória y o Vector Posição no espaço DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

28 z X y Vector deslocamento Espaço percorrido: o espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido. A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento podem corresponder espaços diferentes. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

29 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que esse deslocamento ocorre, ou seja: A direcção de é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante considerado. O vector velocidade instantânea é dado pelo vector sobre o intervalo t quando este tende para zero. y x DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

30 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea O vector aceleração média é dado por: A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector. O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero. x y DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

31 Projecções de um movimento tridimensional z X + Trajectória y o DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

32 Ymáx. Y 0 Xmáx. X Y X 0 Movimento de um projéctil numa trajectória plana DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

33 Movimento Horizontal (M. R. U)Movimento Vertical (M. R. U. V) A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

34 Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da trajectória. Componente normal e tangencial do vector aceleração Movimento circular Uniforme A aceleração normal, como o próprio nome indica, é dirigida para o centro da trajectória. No movimento circular uniforme, o vector aceleração, é perpendicular ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

35 x y 1- Movimento curvilíneo acelerado: Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar. x y DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Física

36 x y x y 2. Movimento curvilíneo retardado: Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Física

37 x y x y 3 - Movimento curvilíneo uniforme: Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se uniforme. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

38 4 - Componentes normal e tangencial do vector aceleração Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da trajectória. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

39 Pode-se exprimir em função de duas componentes: - uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial - uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade e aceleração. Componentes normal e tangencial do vector aceleração Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy. x y DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

40 Movimento Circular Período, T: É o tempo gasto por um corpo para efectuar uma volta completa no circulo. Frequência, f: É o número de voltas efectuadas no circulo na unidade de tempo. Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é constante. DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

41 Velocidade angular Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy, em que R é o raio da trajectória. y x z ds - arco descrito pela partícula; dt - intervalo de tempo; dθ - ângulo ao centro. Se definirmos w como Para ângulos pequenos: Dividindo ambos os membros por dt, vem: Sabendo que: vem: velocidade angular escalar: A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e sentido dado pela regra da mão direita. Podemos então escrever: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

42 Exemplo: A velocidade angular de cada homem é igual ou diferente? E a velocidade escalar ? V 1 < v 2 < v 3 < v 4 w 1 = w 2 = w 3 =w 4 = w DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

43 1 - Movimento circular uniforme Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se constantemente. Como a velocidade é constante então: W = Constante w = velocidade angular (rad/s) Δθ = ângulo percorrido (rad) Δt = tempo (s) v = velocidade escalar (m/s) r = raio (m) Aceleração angular Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo obtém-se: DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

44 Um corpo realiza um movimento circular e uniforme, com velocidade de 5 m/s. Sendo a aceleração normal igual a 10 m/s 2, determine o raio de sua trajectória. A Lua realiza, ao redor da Terra, um movimento aproximadamente circular e uniforme, com velocidade de 1000 m/s. Sendo o raio de sua órbita igual a quilómetros, determine sua aceleração normal. Exercícios de movimento circular e uniforme DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

45 No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, portanto perpendicular ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante. A B C D DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

46 s 2 - Movimento uniformemente variado (Rectilíneo e Circular) Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante. α = constante DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

47 Observe a animação. Em qual ponto do loop a aceleração normal sobre a moto é menor ? Observe a animação mostrada. Se o carro se move com velocidade linear constante. Em qual das curvas a aceleração normal é maior ? DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

48 Tabela Resumo das Características do Movimento Linear e Angular de uma Partícula Posição angular, θ [rad]Posição linear, s [m] Velocidade linear, v [m/s]Velocidade angular, w [rad/s] Grandezas Físicas AngularesGrandezas Físicas Lineares Relação entre grandezas Físicas Lineares e Angulares do Movimento v = w.R e a = α R Aceleração linear, a [m/s 2 ] Aceleração angular, α [rad/s 2 ] Equações do M. R. UEquações do M. C. U DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

49 Equações do M. R. U. V Equações do M. C. U. V Continuação DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I

50 Rectilíneo Uniforme Rectilíneo U. Variado Tipo de MovimentoCaracterísticas do MovimentoPosição, Velocidade e Aceleração Circular Uniforme Circular U. Variado Tabela Resumo das Características do Movimento de uma Partícula DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Mecânica I


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