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Matemática Discreta I BCC101 Introdução à Lógica.

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1 Matemática Discreta I BCC101 Introdução à Lógica

2 2 O que é Lógica Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos sentenças declarativas tais como: i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é r 2 Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos concluir: iii.O círculo X tem área 9

3 3 O que é Lógica É importante notar que lógica é o processo de deduzir informação corretamente, e não de deduzir informação correta Suponha que estamos enganados e, de fato, o círculo X tem raio 4 Ainda assim, o raciocínio anterior está correto: i. O círculo X tem raio 3 ii. Se um círculo tem raio r, então sua área é r iii.O círculo X tem área 9 A distinção entre lógica correta e informação correta é importante.

4 Do que precisamos? Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença Regras de raciocício para determinar a verdade ou falsidade de sentenças da linguagem. BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 4

5 Verdadeiro, Falso Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro. Exemplos: – Se um círculo tem raio r, então sua área é r 2 – 2 – – Esta sentença é fals Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 5

6 Asserções DEF: Uma asserção é uma sentença que é verdadeira (T) ou falsa (F). Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade: Notação: P, Q, R etc BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 6

7 Asserções - Notação Usamos as letras P, Q, R etc, para representar asserções: P: Para todo inteiro n>1, 2 n -1 é primo Q: A função f(x)=x 2 é contínua R: BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 7

8 Asserções - Variáveis Uma ossserção pode conter variáveis: P(x): Se x é múltiplo de 6, então x é par. Q(x): x é par M(x,y): x é múltiplo de y Uma asserção envolvendo variáveis pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à variável: Q(10): 10 é par - verdadeira Q(21): 21 é par - falsa M(10,3): 10 é múltiplo de 3 - falsa M(10,5): 10 é múltiplo de 5 - verdadeira BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 8

9 Asserções em Matemática Teorema de Pitágoras: (sec. V BC) Em um triângulo retângulo com catetos a e b, e hipotenusa c, temos c 2 = a 2 + b 2 Teorema de Fermat: (sec XVII, provado em 1993) Para quaisquer números a,b,c,n, n>2, temos que a n +b n c n Conjectura de Goldbach: (sec XVIII, ainda não provado) Todo inteiro par > 2 é a soma de 2 números primos BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 9

10 Asserções mais Complexas Asserções mais complexas podem ser formadas a partir de asserções atômicas (e das constantes true e false), usando-se conectivos lógicos (ou operadores lógicos): O número 2 é par e o número 3 é impar - P: O número 2 é par - Q: O número 3 é impar - P Q BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10

11 Conectivos Lógicos BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 11 OperadorSimbolo Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então) Equivalência (bi-implicação) =

12 Lógica Proposicional: sintaxe formal Seja var uma variável de proposição. O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática: prop := var |true | false |(¬ prop) |(prop prop) |(prop = prop) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 12

13 Fórmulas da Lógica Proposicional Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional? - ((P Q) P) - ((P P) ¬)

14 Conectivos: precedência associatividade Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos: maior precedência ¬ = menor precedência e têm associatividade à esquerda tem associatividade à direita BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 14

15 Conectivos: precedência associatividade Exemplos: ¬P Q R = (((¬P) Q) R) P Q R = ((P Q) R) P Q R = ((P Q) R) = (P (Q R)) P Q R = (P (Q R)) ((P Q) R) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 15

16 Conectivos: precedência associatividade Elimine os parênteses desnecessários: ((P Q) (R S)) (P (Q (P Q))) ¬ (P (Q R))

17 Lógica Proposicional - semântica O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F O significado da constante true é T O significado da constante false é F Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((P ˄ Q) R) ? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 17

18 Negação Verdadeiro sse o operando é Falso Defina p = x 10 p é verdadeiro sse x é não negativo (p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 18 p¬ p TF FT

19 Conjunção Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros Defina p = x > 0, q = x < 10 p q é verdadeiro sse x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 19 pq p q TTT TFF FTF FFF

20 Disjunção Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro Defina p = x > 0, q = x < 10 p q é verdadeiro para qq valor de x BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 20 pq p q TTT TFT FTT FFF

21 Ou Exclusivo Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes Defina p = x > 0, q = y > 0 p q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 21 pq p q TTF TFT FTT FFF Quadrante 1 x > 0, y > 0 Quadrante 2 x 0 Quadrante 4 x > 0, y < 0 Quadrante 3 x < 0, y < 0 y x

22 Implicação Falso sse 1 o op. é verdadeiro e 2 o é falso Defina p = x > 10, q = x > 0 Considere x = 15, x = 5, e x = -5 p q é verdadeiro para todo valor de x A terceira linha da tabela não ocorre q p é falso quando x está entre 0 e 10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 22 pq p q TTT TFF FTT FFT

23 Equivalência ou Bi-implicação Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor p q tem o mesmo valor que (p q) (q p) p q tem o mesmo valor que (p q) BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 23 pqp = q TTT TFF FTF FFT

24 Condicional Diversas maneiras de expressar p q: se p então q. se p, q. p implica q. q se p. p somente se q. q sempre que p. p é suficiente para q. q é necessário para p. Exemplos É suficiente que x>10 para que x>5 É necessário que x>5 para que x>10 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 24

25 Tabela-verdade BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 25 Proposição: (P Q) ( P Q) P Q F F F T T F T T F T T T ( P Q) P T T F F F T T T ( P Q) ( P Q) F T T T Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas : Contradição (não satisfazível)

26 Outra Tabela-verdade BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 26 Proposição: ( P Q) ( P Q) P Q F F F T T F T T F T F ( P Q) P T T F F F T T T F T F F F Equivalência Lógica: = ( P Q)

27 Sherlock Holms O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 27 M C) L C L M

28 Sherlock Holms BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 28 M C L M C) L C L M False False False True False True False False True True True True False True False True True True False True True True True True True False False True False True True True True True True False False True False True True True False True True M C), L C L M M C) L C L M Consequência Lógica

29 O raciocínio com tabela-verdade é viável na prática? É bom quando existem apenas 2 variáveis {T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade Três variáveis começa a ficar tedioso {T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores linhas na tabela-verdade Vinte variáveis impraticável! 2 2 … 2 linhas (2 20 ) Você gostaria de preencher um milhão de linhas? Nesse caso, como faria para evitar erros? Centenas de variáveis + de1 milhão de anos! 29

30 Proposições - Exemplos Seja P: João é estudante Q: João vai ao cinema R: João vai estudar Expresse cada sentença como uma proposição: 1.João vai ao cinema ou vai estudar 2.João é estudante mas não vai estudar 3.Se João vai ao cinema então João não vai estudar 4.João não vai ao cinema nem vai estudar 5.João vai ao cinema somente se ele não vai estudar 6.É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 30

31 31 BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP Três Lógicos com chapéus Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A:Não". B: Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso?

32 Como ganhar 1 milhão usando lógica 3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca Inscrições nas portas Porta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa CCaneta na porta A BPipoca na porta C ACanetaaqui Adapted from Smullyan, The Lady or the Tiger, Times Books, 1982 Questão extra: Onde está a caneta? D BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

33 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave? b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha? BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 33 Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem.

34 Knights and Knaves (Raymond Smullyan) Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha Temos: (k (k=o)) (¬ k ¬ (k=o)) = true Conclusão: 1.há ouro na ilha 2.não se pode saber se o nativo é knight ou knave BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 34 kok (k=o) ¬ k ¬ (k=o) true false truefalse truefalsetrue false


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