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Matemática Discreta I BCC101 Teoria de Conjuntos.

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1 Matemática Discreta I BCC101 Teoria de Conjuntos

2 2 Tudo em matemática pode ser escrito em termos de conjuntos A Teoria de Conjuntos é adequada para descrever e explicar todas as estruturas matemáticas.

3 3 O que é um conjunto? Um conjunto é uma coleção de objetos Cada objeto da coleção é dito um elemento do conjunto. Exemplos: = {0,1,2,3,…} números naturais = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} números inteiros = {n/m | n,m, m0 } números racionais números reais

4 4 Mais exemplos de conjuntos = {T,F} conjunto Booleano C = {a,e,I,o,u} conjunto das vogais D = {(0,0),(1,5),(3,2)} conjunto de pares de números E = {{1,2},{10},{3,3,3}} conjunto de conjuntos F = {3,{2,5},{5,8,2}} - elementos não precisam ser do mesmo tipo - 3 F - {2,5} F - 2 F

5 5 Cardinalidade Se A é um conjunto finito, a cardinalidade de A é o número de elementos de A Notação: |A| Exemplos: -A = {a,b,c,d} |A| = 4 -B = {{1,2}, {1,2,3}} |B| = 2

6 6 Conjunto Vazio { } conjunto vazio: não possui elementos – 3 { } – x { } não importa o que seja x – = { } a letra Grega phi denota o conjunto vazio Observação: { } -| | = 0 -|{ }| = 1

7 7 Exercício F = {,{ },{{ }}} 1.Qual é a cardinalidade de F? 2. F ? 3. {{ }} ?

8 8 Notação para conjuntos { x | x {2, 3, 5, 7, 11}, x 4} – {5, 7, 11} { x + x | x {2, 3, 5, 7, 11}, x 3, x 11} – {6, 10, 14} {f x | x A, p x} – Denota o conjunto cujos elementos têm a forma (f x), onde x vem de A e é tal que (p x) é verdadeira (True) Para evitar contradições: – O predicado deve especificar o universo de discurso – Examplos inválidos: {X | X é um conjunto} {X | X X} Nestes exemplos, o universo de discurso não é especificado

9 9 Exercícios Listar os elementos dos seguintes conjuntos: 1.{n | n é primo} 2.{n 2 | n } 3.{x | x 2 – 2 = 0} 4.{x | x 2 – 2 = 0} 5.{x | |x| < 4} 6.{2x | |x| < 4} 7.{x | |2x| < 4} 8.{X | X {{1,2},{3,4,5,6},{7}}, |X|<3 }

10 Subconjuntos, Igualdade A é um subconjunto de B – Definição: A B x. (x A x B) – Exemplos {2, 3, 5, 7} {2, 3, 5, 7, 11} A independentemente do que seja A Igualdade entre conjuntos – Definição: A = B (A B) e (B A) A é um subconjunto próprio de B – Definição: A B (A B) e (A B)

11 11 Exercícios 1.1 {1,{1}} 2.1 {1,{1}} 3.{1} {1,{1}} 4.{1} {1,{1}} 5.{{1}} {1,{1}} 6.{{1}} {1,{1}} {} 12. {} 13. {} 14. {} 15. {,} 16. {,} 17.{} {,} 18.{} {,{}} 19.{} {,{}} 20. Quais afirmações são verdadeiras?

12 12 Operações Conjunto Potência Cojunto Potência de A – Definição: P(A) = {S | S A} – Exemplos P({2, 3, 5}) = {, {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}} P( ) = { } – |P(A)| = 2 |A| – Isso será provado mais tarde, usando indução Quantos elementos tem P(P( ))? – P(P( )) = {, { } } Quantos elementos tem P(P(P( )))? – P(P(P( ))) = {, { }, {{ }}, {, { }} } Quantos elementos tem P(P(P(P( ))))? – 2 4 = 16 Quantos elementos tem P(P(P(P(P( )))))? – 2 16 um bocado! em torno de

13 13 Exercícios Liste todos elementos de cada conjunto: 1.P({0,1,3}) 2.P({1}) 3.P( ) 4.P({1,{1,2}}) 5.P({,})

14 14 Operações: Produto Cartesiano Produto Cartesiano de A e B – Definição: A B = {(a, b) | a A e b B} |A x B| = |A| x |B| – Exemplos {2, 3} {3, 5, 7} = {(2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7)} {0, 1, 2, …} {1, 2, 3, …} = conjunto de todos os pares de números naturais em que o segundo componente 0 Exercício: -Quantos elementos tem A P(A)? (Suponha que A tem n elementos)

15 15 Operações: União e Interseção União de A e B – Definição: A B = {x | x A ou x B} – Outra maneira: x. (x A B) (x A x B) – Exemplos {2, 3, 5} {5, 7, 11} = {2, 3, 5, 7, 11} A = A independentemente do que seja A {, { }} { {{ }}, {, { }} } = {, { }, {{ }}, {, { }} } Interseção de A e B – Definição: A B = {x | x A e x B} – Exemplos {2, 3, 5, 7} {2, 7, 11} = {2, 7} A = independentemente do que seja A Conjuntos disjuntos – Definição: A e B são disjuntos A B =

16 16 Operações: Diferença e Complemento Diferença A menos B – Definição: A – B = {x | x A e x B} – Exemplos {2, 3, 5, 7} – {2, 7, 11} = {3, 5} A – = A independentemente do que seja A – A = independentemente do que seja A Complemento de A – Definição: A = U – A onde U é o universo de discurso – Exemplos - universo de discurso = {0, 1, 2, …} {2, 3, 4, 5} = {0, 1} {6, 7, 8, …} {2x | x {0, 1, 2, …} } = {2x+1 | x {0, 1, 2, …} }

17 Exercícios 1.A B 2.A B 3.A – B 4.B – A 5.(A-B) (B-A) 6.A C 7.A C 8.A – C 9.(A C) (A – C) Sejam A = {a,b,c,d,e} B={d,e,f} C={1,2,3} 10.(A B) x B 11.(AxC) (BxC)

18 18 Famílias de conjuntos União de uma família de conjuntos S – Definição: S = {x | x A para algum A S. } – Outra maneira: x. (x S) ( A. A S x A) – Exemplos { {2, 3, 5}, {5, 7, 11}, {2, 5, 13, 17} } = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} Interseção de uma família de conjuntos S – Definição: S = {x | x A, para todo A S} – Exemplos { {2, 3, 5, 11}, {5, 7, 11}, {2, 5, 7, 11, 13, 17} } = {5, 11} { {x n | x {1, 2, …}} | n {0, 1, 2, …} } = {1}

19 19 Famílias indexadas de conjuntos Sejam A 1, A 2, …, A n tais que A i = {-i, …,0….,i} União Interseção Exemplo: A 1 ={-1,0,1} A 2 ={-2,-1,0,1,2} A n ={-n,…,-1,0,1,…,n}

20 Exercícios Determine os seguintes conjuntos

21 21 Princípio da Boa Ordenação Todo subconjunto não vazio de números naturais tem um menor elemento: A e A existe x 0 A tal que x 0 x, para todo x A É uma propriedade fundamental de Não vale para números reais: A = {1/n | n } não tem um menor elemento

22 22 Princípio da Boa Ordenação- consequência Algoritmo de Divisão: Dados dois números naturais a e b, com b>0, existem números naturais q e r tais que a = qb + r e 0 r < b Prova: Dados a e b, com b>0, construa o conjunto A = {a – xb | x, 0 a – xb} Por exemplo, se a=17 e b=3, A ={2,5,8,11,14,17,…} A é não vazio. Seja r o menor elemento de A. Então r=a–qb, p/ algum q e, portanto, a=qb+r. Além disso, r

23 23 Paradoxo de Russel Bertrand Russell ( ) Uma teoria ingênua de conjuntos pode levar a paradoxos. Considere: A = {X | X é um conjunto e X X} -{1,2} A - A -Seja X = {X}. X A Paradoxo: A A ?

24 24 Teoria Axiomática de Conjuntos Para evitar os paradoxos que podem ocorrer em uma teoria ingênua de conjuntos, foi proposta, por Zermelo e Frankel, uma teoria axiomática, que inclui como axiomas: Princípio da Boa Ordem Nenhum conjunto não vazio C pode ter a propriedade de que C x, para todos os elementos seus elementos x que sejam conjuntos. Isso exclui conjuntos tais como X = {X}.


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