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1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por constradição.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova por constradição

2 Mais estratégias de prova Se a e b são números inteiros, então a 2 – 4b 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 2

3 Prova por contradição Suponha que queremos provar uma conclusão C. A idéia de uma prova por contradição é supor que a conclusão a ser provada é falsa, isto é, supor ¬C, e mostrar que essa suposição nos leva a uma contradição. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 3

4 Prova por contradição Teorema: se a,b Z então a 2 -4b2 Prova: Suponha, por contradição, que a 2 -4b=2 Então a 2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a 2 é par e, portanto, a é par. Ou seja, a = 2c, para algum inteiro c. Substituindo a por 2c na equação acima obtemos: (2c) 2 = 2(1+2b) => 4c 2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2c 2 = 1+2b => 1 = 2b – 2c 2 = 2(b-c 2 ) Como b,c Z, isso significa que 1 é par, o que é um absurdo! Portanto a 2 -4b2. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 4

5 Mais estratégias de prova Um número real x é racional se x=a/b, para algum número a Z e algum número b Z, b0. E x é irracional, se ele não é racional. Teorema: 2 é um número irracional Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 5

6 Prova por contradição Teorema: 2 é um número irracional Prova: Suponha, por contradição, que 2 é racional, isto é, 2 =a/b, para a,b Z, b0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b são primos entre si -- mdc(a,b)=1. Então (a/b) 2 =(2) 2 =2 a 2 =2b 2, ou seja a 2 é par e, portanto, a é par, i.e., a=2k, para algum k Z. Então b 2 =a 2 /2=(2k) 2 /2=2k 2, ou seja, b 2 é par e, portanto, b é par. Mas isso constraiz o fato de que a e b são primos entre si. Portanto, concluimos que 2 é irracional CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 6

7 Prova por contradição – mais exemplos Teorema: O conjunto dos números primos é infinito. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Como pode ser expressa a negação dessa conclusão? Como podemos obter uma contradição, a partir da negação da conclusão? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 7

8 Exercícios Prove que a soma de um número racional e um número irracional é um número irracional Prove que o conjunto dos números pares é infinito Sejam a e b inteiros. Então a 2 -4b2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 8


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