A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

15:01 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método do ponto fixo (iterativo linear)

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "15:01 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método do ponto fixo (iterativo linear)"— Transcrição da apresentação:

1 15:01 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método do ponto fixo (iterativo linear)

2 15:11 Idéia Queremos resolver f(x) = 0(1) Se garantirmos que a solução de x = (x) (2) também é solução de f(x) = 0, podemos resolver (2) em lugar de (1). x é chamado um ponto fixo de (2)!

3 15:11 Como obter (x) ? Qualquer (x) da forma: desde A(x) 0, onde x é raiz de f(). Para x, f(x) = (x)-x A(x) = 0 x) = x Por que ?

4 15:11 Exemplos f(x) = x 2 - x - 2 = 0 Processo iterativo:

5 15:11 Funciona ? tome para resolver o problema: Será que funciona ? x 0 = 2.5 ! (x 0 ) = 2.12 x 1 = (x 0 ) = 2.12 ! (x 1 ) = 2.03 x 2 = (x 1 ) = 2.03 ! (x 1 ) = 2.008

6 15:11 Funciona ?

7 15:11 Sempre funciona ? tome x = x para resolver o problema anterior: Será que funciona ? x 0 = 2.5 ! (x 0 ) = 4.25 x 1 = (x 0 ) = 4.25 ! (x 1 ) = x 2 = (x 1 ) = ! (x 1 ) =

8 15:11 Funciona ? x 0 = 2.5 ! x 1 = (x 0 ) = 4.25 ! x 2 = (x 1 ) = Claramente precisamos garantir as condições de convergência se queremos usar este método

9 15:11 Convergência Lembrete I: Teorema do valor médio: Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) então existe ao menos um ponto no intervalo (a,b) tal que:

10 15:11 Seja (x) uma função contínua, com derivadas primeira e segunda contínuas num intervalo fechado I da forma I = (x-h, x+h), cujo centro x é solução de x= (x). Seja x 0 2 I e M um limitante da forma | '(x)| · M < 1. Então: a iteração x k+1 = (x k ), k=0,1,..., pode ser executada indefinidamente pois x k 2 I, 8 k |x k - x| ! 0 se '(x) 0 ou (x) =0 e ''(x) 0 e se |x 0 -x| for suficientemente pequeno, então a sequencia x 1, x 2,... será monotônica ou oscilante. Teorema 3.4 a) b) c)

11 15:11 Prova a) (1/3) a) Provamos por indução. i) por hipótese, x 0 2 I ii) supomos x 1, x 2, x 3,..., x k em I e mostramos que x k+1 2 I. do processo iterativo da condição de optimalidade

12 15:11 a) Provamos por indução. i) por hipótese, x 0 2 I ii) supomos x 1, x 2, x 3,..., x k em I e mostramos que x k+1 2 I. Pelo teorema do valor médio: Tomando o módulo Prova a) (2/3) Da hipótese | '(x)| · M

13 15:11 Prova a) (3/3) Como M<1, e x k está em I (centrado em x), x k+1 2 I

14 15:11 Prova b) |xk - x| ! 0 Pois M < 1

15 15:11 Observação... x k converge, mas como ? |xk - x| ! 0 x k convergência monotônica convergência oscilante xkxk

16 15:11 Lembrete II: Teorema da permanência do sinal: Se f é uma função real de variável real definida e contínua numa vizinhança de x 0. Se f(x 0 ) 0, então f(x) 0 para todo x pertencente a uma vizinhança suficientemente pequena de x 0 prova c)

17 15:11 prova c) se '(x) 0 ou '(x) =0 e ''(x) 0 e se |x 0 -x| for suficientemente pequeno, então a sequencia x 1, x 2,... será monotônica ou oscilante. Caso 1: '(x) 0 Pelo teorema de permanência do sinal, '(x) manterá o mesmo sinal em uma vizinhança suficientemente pequena de x Do teorema do valor médio:

18 15:11 prova c) Caso 1: '(x) 0 se ' (x) > 0 e x k · x x k+1 · x se '(x) > 0 e x k ¸ x x k+1 ¸ x se '(x) < 0 e x k · x x k+1 ¸ x se '(x) < 0 e x k ¸ x x k+1 · x como convergência monotônica convergência oscilante em um dado momento poderemos aplicar o teorema de continuidade do sinal!

19 15:11 prova c) Caso 2: '(x) 0 e ''(x) 0 se ''(x) > 0 x k+1 ¸ x se ''(x) < 0 x k+1 · x convergência monotônica Novamente, do teorema do valor médio: Mais uma vez, do teorema do valor médio: ¸ 0¸ 0 k está entre x k e x

20 15:11 Exemplo (1/2) f(x) = e -x -x Há uma raiz entre (0.5, 0.75) x = e -x Precisamos garantir que | '(x)| < 1 no intervalo considerado Qual o máximo | '(x)| em [0.5, 0.75] '(x) = -e -x '(0.5) = '(0.75) = x) sempre decrescente! | (x)| · < 1

21 15:11 Exemplo (2/2) Chute inicial: x 0 = ( )/2 = 0.625

22 15:11 Ordem de convergência Velocidade com que as iterações de um método se aproximam do valor exato. Quanto maior, mais rápido é o método! Definição 3.3 (Franco): Seja {x k } o resultado da aplicação de um método numérico na iteração k e e k =x k -x o seu erro. Se existirem um número p e uma constante c tais que: Então p é a ordem de convergência desse método

23 15:11 Ordem de convergência do Método do ponto fixo Ainda do teorema do valor médio, temos: p =1


Carregar ppt "15:01 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações: Método do ponto fixo (iterativo linear)"

Apresentações semelhantes


Anúncios Google