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5a. Aula Franklina. Otimalidade e Relaxação Dado um Problema Inteiro ou Problema de Otimização Combinatória Uma solução com valor z* é ótima se existe.

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1 5a. Aula Franklina

2 Otimalidade e Relaxação Dado um Problema Inteiro ou Problema de Otimização Combinatória Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior z LB z* e um limitante superior z UB z* tal que z LB = z* = z UP.

3 Na prática um algoritmo para o problema anterior é terminado quando existe uma seqüência decrescente de limitantes superiores e uma seqüência crescente de limitantes inferiores, tal que, z UB – z LB

4 Limitante Inferior Qualquer solução x´ X fornece um limitante inferior para o problema 1 : z LB = z(x´) z* Em geral, usam-se métodos heurísticos para obter um limitante inferior. Obs. Existem problemas que é simples encontrar uma solução factível (mochila), no entanto, para alguns essa tarefa é árdua (dimensionamento de lotes). 1 – Lembre-se que estamos maximizando z.

5 Limitante Superior Limitantes superiores para problemas de maximização são chamados de limitantes duais. O enfoque de relaxação é o mais importante para determinar limitantes superiores. Um problema relaxado é um problema mais simples que o problema original de programação inteira, com valor ótimo maior ou igual a z*.

6 Duas possibilidades para o problema relaxado: a) Aumentar o conjunto de soluções factíveis (ex. relaxação linear); b) Substituir a função objetivo por uma função com valor maior ou igual para todas as soluções factíveis (ex. relaxação lagrangiana).

7 Definição 2.1. Um problema (PR) z R = max{f(x) | x T R n } é uma relaxação de (PI) z = max{c(x) | x X Z n } se: (i) X T, e (ii) f(x) c(x) para todo x X. Proposição 2.1. Se PR é uma relaxação de PI então z R z. Demonstração. Se x* é uma solução ótima de PI, então x* X T e z = c(x*) f(x*). Como x* T, f(x*) é um limitante inferior de z R, e portanto, z f(x*) z R.

8 Relaxação Linear - PL Definição 2.2. Dado o problema inteiro Max {cx | x P Z n } com formulação P = {x | Ax b} a relaxação por programação linear é o problema linear z PL = max{cx | x P }.

9 Exemplo relaxação Linear Considere o problema inteiro: z = max (4 x 1 – x 2 ) s.a7 x 1 – 2 x 2 14 x x 1 – 2 x 2 3 x

10 Exemplo relaxação Linear (2,1) é uma solução factível, logo é um limitante inferior para o problema, z 7. A solução ótima do PL é x = (20/7, 3) com valor 59/7. Como a solução ótima é inteira, temos que z 8.

11 Proposição 2.2. (Formulações Melhores) Considere P 1, P 2 duas formulações para o problema inteiro Max {cx | x X Z n } Sendo P 1 uma formulação melhor que P 2, isto é, P 1 P 2. Se z i PL = Max {cx | x P i } para i = 1, 2 são valores ótimos das relaxações lineares, então z 1 PL z 2 PL para todo c.

12 Proposição 2.3. (Prova de otimalidade) (i) Se a relaxação PR é infactível, o problema original PI é infactível. (ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI. Demonstração (i) Como PR é infactível, T = e, portanto, X =. (ii) Como x* X, z c(x*) = f(x*) = z R. Como z z R, então c(x*) = z = z R.

13 Relaxação Combinatorial Esta relaxação está associada a um problema de otimização combinatória. Problema do Caixeiro Viajante. É dado um grafo orientado D = (V,A) com peso c ij para cada arco (i,j) A. As soluções do PCV são tours ou ciclos Hamiltonianos, que são designações (assignments) ou permutações sem subtours.

14 ciclos Hamiltonianos – uma rota através dos vértices do grafo que inicie e termine em um mesmo nó sem nunca repetir uma visita. Grafo original Ciclos Halmiltonianos

15 Problema de designação: Grafo originalCiclo Halmiltoniano

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17 Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS) É dado um grafo G = (V,A) com peso c i para cada aresta i A. Note que: a) todo tour consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e um caminho através dos nós {2,3,...n}; b) Um caminho é um caso especial de uma árvore. Definição 2.3. Uma 1-árvore é um subgrafo que consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e das arestas de uma árvore nos nós {2,...n}.

18 Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS) Cada tour é uma 1-árvore, e, portanto,

19 Problema da Mochila Uma relaxação do conjunto É o conjunto Onde a é o maior inteiro menor ou igual a a.

20 Relaxação Lagrangiana Dado um problema de programação inteira (PI) Max {cx | Ax b, x X Z n }. Se este problema for difícil de resolver, podemos relaxar as restrições Ax b, neste caso temos: Max {cx | x X Z n }. O problema de designação pode ser obtido ao relaxarmos as restrições de subtour do PCV.

21 Proposição 2.4. Dado o problema de programação inteira PI Max {cx + u(b – Ax), x X}. Então z(u) z para todo u 0. Prova. Seja x* solução ótima do PI. Como x* é factível em PI, x* X. Logo, Ax* b e, portanto, b – Ax* 0. Como u 0 temos z = cx* cx* + u(b – Ax*) = z(u).

22 Exemplo Problema de dimensionamento de lotes com capacidade limitada Min cx + sy + hI s.ax it – I it + I i,t-1 = d it i (b i x it + f i y it ) C t b i x it C t y it x it 0, y it {0,1}, I it 0

23 Limitantes Primais: busca local e gulosos Heurísticas gulosas (Greedy – gananciosa) Idéia geral: construir uma solução a partir de um conjunto vazio, escolhendo a cada passo a melhor decisão naquele momento. Exemplo. Problema da Mochila

24 Busca local Passo 1. Seleção de uma solução inicial (S). V Passo 2. Avalie se existe na vizinhança V uma solução S melhor que S. Passo 3. Se existe S então atualize S e volte ao Passo 2. Passo 4. Fim. Exemplo. Problema da mochila.


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