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6 May 2008. 15:03 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Introdução.

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1 6 May :03 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Introdução

2 12 Jun :31 Ceres e os mínimos quadrados Ceres é o menor planeta anão identificado no sistema solar. Foi descoberto por Giuseppe Piazzi, em Piazzi seguiu sua órbita por 40 dias, até perdê-la, devido ao brilho do sol. Como encontrá-lo quando ele ficasse visível outra vez?

3 12 Jun :31 Como "reencontrar" Ceres Resolvendo as equações não-lineares de Kepler, para as órbitas dos planetas. Entretanto, o planeta só foi reencontrado devido às predições de Gauss, então com 24 anos.

4 12 Jun :31 O método de Gauss Havia uma série de pontos dados pelas observações temporais de Piazzi Gauss estimou uma função: posição = f(t) A partir destes dados, de modo que, para os pontos conhecidos, o erro fosse "o menor possível".

5 12 Jun :31 Idéia posição tempo erro

6 12 Jun :31 Método dos mínimos quadrados Objetivo: Aproximar uma função y= f(x) por uma combinação linear de funções conhecidas: de tal modo que a distância de f(x) a F(x) seja a menor possível. precisamos definir uma noção de distância entre duas funções

7 12 Jun :31 Quando usar ? A aproximação torna-se especialmente interessante quando: a) f(x) é definida através de processos não finitos, como integrais, soma de séries... b) f(x) é conhecida apenas através de pares de pontos (obtidos, por exemplo, através de experimentos)

8 12 Jun :31 Distância entre vetores Definição: Seja E um espaço euclidiano. Dados os vetores x e y 2 E, definimos a distância entre dois vetores - d(x,y) - como o comprimento do vetor (x,y):espaço euclidiano Queremos obter a mínima distância entre a função real f(x) e a função aproximada F(x). Poderíamos usar:

9 12 Jun :31 Medida nem tão boa assim: Problemático trabalhar com módulos (não diferenciável) Sem módulo: Erros positivos anulam os erros negativos. Erro total zero, quando vemos que r 1 é bem diferente de r 2 r1r1 r2r2

10 12 Jun :31 Solução Usamos: Daí o nome de método dos mínimos quadrados


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