Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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1 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Sistemas lineares Método de eliminação de Gauss - Estratégias de pivoteamento 3 Oct :55

2 31 Oct :44 Gauss (revisão) O método de eliminação de Gauss funciona criando uma matriz triangular superior: ...

3 Multiplicadores Cada iteração, requer o cálculo dos multiplicadores:
31 Oct :44 Multiplicadores Cada iteração, requer o cálculo dos multiplicadores: Exemplo: precisamos calcular: ... E se akk for nulo ? ou muito próximo de zero ?

4 Consequências: Se for nulo: procedimento inviável.
31 Oct :44 Consequências: Se for nulo: procedimento inviável. Se for próximo de zero: dão origens a número muito grandes que originam ampliação dos erros de arredondamento. Solução: Estratégias de pivoteamento.

5 Estratégia de pivoteamento parcial
31 Oct :44 Estratégia de pivoteamento parcial No início de cada iteração, escolher como pivô o maior elemento (em módulo) da coluna k, aik, i=k,k+1,...n. se i  k, trocar as linhas k e i.

6 Exemplo (Ruggiero & Lopes)
31 Oct :44 Exemplo (Ruggiero & Lopes) n = 4, k=2. Escolhemos como pivô o elemento a32, que é o que tem maior valor em módulo, e trocamos as linhas 3 e 2.

7 Exemplo (Ruggiero & Lopes)
31 Oct :44 Exemplo (Ruggiero & Lopes) O procedimento continua normalmente, lembrando que agora a linha 2 está associada à variável 3 e a linha 3 associada à variável 2.

8 Estratégia de pivoteamento completo
31 Oct :44 Estratégia de pivoteamento completo Nesta estratégia, escolhe-se o elemento de maior módulo dentre todos os elementos ainda participando do processo de eliminação. No exemplo: No caso, trocaríamos as colunas 2 e 4 e depois as linhas 2 e 3.

9 31 Oct :44 A estratégia de pivoteamento completo é menos empregada porque implica em grande esforço computacional: necessita a comparação de todos os elementos da submatriz dos elementos ainda participando do processo de eliminação. troca de linhas e colunas

10 Exemplo Resolver o sistema abaixo com regra de pivoteamento completo.
31 Oct :44 Exemplo Resolver o sistema abaixo com regra de pivoteamento completo. 2x1 + 3x2 –x3 = 4 x1 +2x = 3 3x2 – x = 2

11 31 Oct :44 Exemplo (Resolução) Resolver o sistema abaixo com regra de pivoteamento completo. x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1

12 Exemplo (Ruggiero & Lopes)
31 Oct :44 Exemplo (Ruggiero & Lopes) Resolva o sistema abaixo supondo que você tenha que trabalhar na base F(10,3,-10,10) 0.0002x1 + 2x2 = 5 2x x2 = 6 Sem usar regras de pivoteamento Usando pivoteamento