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19 May 2008. 10:30 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método das Potências.

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1 19 May :30 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Determinação numérica de autovalores e autovetores Método das Potências

2 9 Jun :05 Método das potências Objetivo: Determinar o autovalor de maior valor absoluto de uma matriz A e o seu correspondente autovetor sem determinar o polinômio característico da matriz. Por que ? Aparece naturalmente em aplicações, como estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos, ou convergências etc.

3 9 Jun :05 Teorema

4 9 Jun :05 Por hipótese: y 0 = c 1 u 1 + c 2 u c n u n. Au i = i u i Esboço da demonstração

5 ... 9 Jun :05 Esboço da demonstração tende a zero com k

6 9 Jun :05 Como obter 1 ?

7 9 Jun :05 Como obter 1 ?

8 9 Jun :05 Como obter 1 ?

9 9 Jun :05

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12 Cálculo de 1 (normalização) Na prática, o cálculo de 1 é feito com a construção de dois outros vetores:

13 9 Jun :05 Cálculo de 1 (normalização)

14 9 Jun :05 Observações a) No limite, todas as componentes de (z k+1 )r/(y k )r tendem a 1. Entretanto, na prática, uma das componentes converge mais rapidamente do que as outras. Assim, quando uma das componentes satisfizer a precisão desejada teremos o auto-valor procurado. Além disso, a velocidade de convergência depende de i / 1. Portanto, quanto maior foi | 1 | quando comparado a | i |, mais rápido será a convergência. b) Para obtermos 1 com uma precisão, em cada passo calculamos aproximações para 1. O teste do erro relativo em cada componente de 1 é usado como um critério de parada: c) Quando todas as componentes r forem iguais, então o vetor y k dessa iteração é o auto-vetor correspondente ao autovalor 1. d) se algum vetor resultar no vetor nulo, o método falha. Tal acontecimento deve ocorrer se as hipóteses não foram satisfeitas.

15 9 Jun :05 Exemplo- Método das potências

16 9 Jun :05

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18 Método da Potência Inversa Usando para determinar o autovalor de menor valor absoluto e seu correspondente auto-vetor. Assumimos: Desejamos determinar n n | < | i |, i=1,...,n-1

19 9 Jun :05 Método da Potência Inversa E portanto:

20 9 Jun :05 Método da Potência Inversa Exemplo: Determinar o menor autovalor, em módulo, da matriz dada abaixo.

21 9 Jun :05 Método da Potência Inversa Continuando...


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