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Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP Programação inteira Decomposição de Benders.

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1 Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP Programação inteira Decomposição de Benders

2 FMBT/ AMC Decomposição de Benders Benders, J. F. Partitioning Procedures for Solving Mixed Variables Programming Problems Numerische Mathematik, 1962, 4,

3 FMBT/ AMC Parágrafo 1 - Problema

4 FMBT/ AMC Parágrafo 2 - Contexto

5 FMBT/ AMC Parágrafo 3 - Aplicação

6 FMBT/ AMC Restrições de acoplamento Decomposição de Benders (estrutura em blocos)

7 FMBT/ AMC Nas palavras de Geoffrion volta

8 FMBT/ AMC Decomposição de Benders complicating variables

9 FMBT/ AMC Benders decomposition - aplicação imediata x - variáveis reais y - variáveis inteiras

10 FMBT/ AMC Benders decomposition - desenvolvimento =

11 FMBT/ AMC dual Benders decomposition - desenvolvimento Interessante: o espaço factível do problema dual independe de y!

12 FMBT/ AMC Espaço factível do dual F

13 FMBT/ AMC Espaço factível do dual + função objetivo F dual ilimitado

14 FMBT/ AMC dual Dual ilimitado ? O que significa isso ? Primal infactível! Problema original infactível!

15 FMBT/ AMC Queremos que o dual seja limitado

16 FMBT/ AMC A solução é um dos pontos extremos. Qual ? Aquele que dá o maior valor!

17 FMBT/ AMC Reformulação de Benders! Problema reescrito unicamente em função das variáveis y e de uma variável real, z. definição do Geoffrion

18 FMBT/ AMC Reformulação de Benders! Problema ? Número muito grande de restrições, uma vez que o número de pontos e raios extremos é geralmente muito grande!

19 FMBT/ AMC O que nos dá uma relaxação ? (em um problema de minimização) –Limitante inferior –Além disso: uma solução "tentativa" y. estratégia de resolução

20 FMBT/ AMC Benders - Visão geral y

21 FMBT/ AMC Benders - Término! y LP UB LP UB Master Problem Subproblem Por que ?

22 FMBT/ AMC Algoritmo 1. Resolva o problema MASTER (Atualize LP - Pare se UB-LB · ) 2. Use a solução tentativa y no SUBPROBLEMA 3. Se a solução do SUBPROBLEMA é infactível: Gere um corte de infactibilidade e volte para 1. Se a solução do SUBPROBLEMA é factível: (Atualize UB - Pare se UB-LB · ) Gere um corte de optimalidade e volte para 1.

23 FMBT/ AMC Benders. Exemplo Master subproblem

24 FMBT/ AMC Retirado de:

25 FMBT/ AMC Benders. Exemplo subproblem dual subproblem

26 FMBT/ AMC subproblema dual Master subproblema primal

27 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB

28 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf

29 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf

30 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf n3- inf

31 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf n3- inf 03100

32 FMBT/ AMC Exemplo: solução Sol: y = (0 3 1) x = (0 0 0) y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf n3- inf /3s33

33 FMBT/ AMC Benders. Exemplo u1u1 u2u2 y1y1 y2y2 y3y3 b1b1 b2b2 u1u1 u2u2 fac t LPUB n7- inf n3- inf /3s33

34 FMBT/ AMC Observações Há maneiras de fazer com que o cplex nos forneça um raio quando a solução do dual é infactível. Este raio não necessariamente é extremo! (Isso pode ser uma boa coisa!)

35 FMBT/ AMC Um clássico: Geoffrion and Graves, 1974 Geoffrion, A. M. & Graves, G. W. Multicommodity Distribution System Design By Benders Decomposition Management Science, 1974, 20,

36 FMBT/ AMC O problema Cap. 110 Fixed: $ 100 Unitary: $2 Cap. 350 Fixed: $ 500 Unitary: $1 Cap. 60 $4 Cap. 50 $3 Cap. 200 $4 Cap. 110 $2 Demand: 50 Demand: 20 Demand: 100 Demand: 30 Demand: 50 Demand: 60 $0 $5 $4 $2 $4 $3 $3 $2 $5 $3 $2 $3 $1 $2 $2 $3

37 FMBT/ AMC Formulação

38 FMBT/ AMC Formulação decomposição

39 FMBT/ AMC Decomposição Master problem formulação original Subproblem

40 FMBT/ AMC Re-otimização Solução ótima do exemplo: Cap. 200 $4 Cap. 110 $2 Demand: 50 Demand: 20 Demand: 100 Demand: 30 Demand: 50 Demand: $3050 -e se o custo unitário do primeiro depósito baixasse de uma unidade ? - e se os custos de transporte aumentassem ? - e se...

41 FMBT/ AMC Re-otimização um aumento em c mantém e factíveis. Os cortes continuam válidos e a re-otimização pode ter um "hot start".

42 FMBT/ AMC Seminal... Geoffrion e Graves previram diversas dificuldades da decomposição de Benders: Grande número de iterações necessárias!

43 FMBT/ AMC Duas extensões clássicas McDaniel e Devine Magnanti e Wong

44 FMBT/ AMC McDaniel e Devine McDaniel, D. & Devine, M. A modified Benders' partitioning algorithm for mixed integer programming Management Science, 1977, 24, Master problem Subproblem

45 FMBT/ AMC McDaniel e Devine Qual a etapa mais demorada ? Master problem Subproblem

46 FMBT/ AMC McDaniel e Devine Cortes gerados para o problema linear também são válidos para o problema inteiro!

47 FMBT/ AMC McDaniel e Devine Tradicional McDaniels e Devine

48 FMBT/ AMC Mais extensões! Cortes de Pareto Magnanti, T. L. & Wong, R. T. Accelerating Benders Decomposition: Algorithmic Enhacement and Model Selection Criteria Operations Research, 1981, 23,

49 FMBT/ AMC Pareto-Optimal Cuts "Melhor corte" a cada iteração! Dual 0 1

50 FMBT/ AMC Pareto-Optimal Cuts Dual Keep the maximum cut for the current y

51 FMBT/ AMC Outras extensões Muitas especializações podem ser feitas segundo o problema.

52 FMBT/ AMC Especialização para projeto de redes Costa, A. M.; Cordeau, J. & Gendron, B. Benders, metric and cutset inequalities for multicommodity capacitated network design Computational Optimization and Applications, 2008 (previsto)

53 FMBT/ AMC Especialização para projeto de redes Multicommodity network flow

54 FMBT/ AMC Multicommodity network flow Especialização para projeto de redes

55 FMBT/ AMC Especialização para projeto de redes Multicommodity network flow subproblem dual

56 FMBT/ AMC Quando o problema Z(w) é limitado ? Shortest path problem

57 FMBT/ AMC Desigualdades validas

58 FMBT/ AMC Shortest path problem dual

59 FMBT/ AMC Metric inequalities

60 Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa - ICMC/USP y 46 y 47 y 58 u 46 y 46 + u 47 y 47 + u 58 y 58 ¸ d 1 + d 2 d2d2 d1d1 Cutset inequalities

61 FMBT/ AMC Cutset inequalities

62 FMBT/ AMC Resumo

63 FMBT/ AMC Resultados Costa, A. M.; Cordeau, J. & Gendron, B. Benders, metric and cutset inequalities for multicommodity capacitated network design Computational Optimization and Applications (forthcoming), 2008

64 FMBT/ AMC Resumo

65 FMBT/ AMC Aproveitando a fase linear Costa, A. M. Models and algorithms for two network design problems HEC - Université de Montréal, 2006

66 FMBT/ AMC Aproveitando a fase linear

67 FMBT/ AMC Aproveitando a fase linear...

68 FMBT/ AMC Resultados Instance N/A/K Number of IP Iterations Without Extra cuts With Extra Cuts 10/35/ /35/ /35/ /60/ /60/ /82/ /83/25 985

69 FMBT/ AMC Resultados Extra Cuts – (N=10/A=83/K=25)

70 FMBT/ AMC Resultados Generalizável!


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