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Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa Otimização em grafos Traveling Salesman Problem: Alguns métodos heurísticos.

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1 Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa Otimização em grafos Traveling Salesman Problem: Alguns métodos heurísticos

2 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Procedimentos de construção Procedimentos de melhoria

3 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Procedimentos de construção Três etapas: –escolha de um ciclo (ou ponto) inicial –critério de seleção –critério de inserção

4 FMBT/ AMC 09:48 12 mar ciclo inicial: –um ponto aleatório –o envoltória convexa dos pontos

5 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Flood, 1956: todo TSP euclidiano tem uma solução ótima que visita os pontos da fronteira do envoltória convexa na mesma ordem em que eles aparecem.

6 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Nearest neighbor algorithm Belmore and Nemhauser (Survey paper, 1968) 1.comece com uma cidade i (arbitrária); 2.encontre o nó ainda não adicionado que seja mais próximo do último nó adicionado; Conecte estes dois nós. 3.Enquanto o último nó não tiver sido adicionado, volte para 2. 4.Quando o último nó tiver sido adicionado, conecte-o ao primeiro nó que foi adicionado.

7 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Nearest neighbor algorithm (exemplo 1)

8 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Nearest neighbor algorithm (exemplo 2)

9 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Nearest addition 1.comece com uma cidade i (arbitrária) e seu vizinho mais próximo j; T={i,j} 2.(seleção) encontre (j,k) que minimiza c jk, com j 2 T e k T. T= T+{k}. 3.(inserção) elimine o arco (i,j), onde i é um vizinho imediato de j no ciclo atual e adicione os arcos (i,k) e (k,j). 4.enquanto não for formado um ciclo hamiltoniano, volte para 2.

10 FMBT/ AMC Retirado de:

11 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Arbitrary insertion procedure Rosenkrantz, Stearns, Lewis, comece com uma cidade i (arbitrária) e seu vizinho mais próximo j; Forme o subciclo (i,j) 2.(Seleção) Selecione arbitrariamente uma cidade k não pertencente ao subciclo. 3.(Inserção) Encontre o arco (i,j) que minimiza c ik + c kj - c ij. Insira k entre i e j. 4.Volte para 3 a menos que todos os arcos tenham sido inseridos.

12 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Convex hull insertion procedure Stewart, Forme o convex hull (envoltória convexa) das cidades. Este é o subciclo inicial. 2.(Inserção) Para cada cidade k fora do subciclo, decida onde ela deve ser inserida, i.e., (i,j) tal que c ik +c kj -c ij é mínimo. 3.(Seleção) Para todo (i,j,k) do item anterior, escolha (i*,j*,k*) aquele que minimiza (c ik +c kj )/c ij. 4.Insira k* entre i* e j*. 5.Enquanto um ciclo hamiltoniano não tiver sido encontrado, retorne ao passo 2.

13 FMBT/ AMC 09:48 12 mar pelo critério (c ik +c kj )/c ij, escolha qual inserir

14 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Greatest angle insertion procedure Norback & Love, 1977, Forme o convex hull (envoltória convexa) das cidades. Este é o subciclo inicial. 2.(Seleção e Inserção) Escolha a cidade k* ainda não incluida e o arco (i*,j*) do subtour tal que o ângulo formado pelos arcos (i,k) e (k,j) seja máximo. 3.Insira a cidade k* entre as cidades i e j. 4.Enquanto um ciclo hamiltoniano não tenha sido obtido, volte ao passo 2.

15 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Ratio times difference insertion procedure Or, Forme o convex hull (envoltória convexa) das cidades. Este é o subciclo inicial. 2.(Seleção e Inserção) Escolha a cidade k* ainda não incluida e o arco (i*,j*) do subtour tal que o produto {c i*k* +c k*j* -c i*j* }£{(c i*k* +c k*j* )/c i*j* }} seja mínimo 3.Insira a cidade k* entre as cidades i e j. 4.Enquanto um ciclo hamiltoniano não tenha sido obtido, volte ao passo 2.

16 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Clarke-Wright savings heuristic (idéia) 1.Inicie com n-1 subciclos conectando uma cidade qualquer (hub) a cada uma das outras. 2.Para cada par de cidades, calcule a economia obtida na redução do subciclo. 3.Faça a redução

17 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Clarke-Wright savings heuristic i j k savings: c jk + c ik - c ij £ £

18 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Outras heurísticas Heurísticas baseadas em árvores –Cristofides –Minimum spanning tree heuristics

19 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Heurísticas de melhoria 2-opt Lin-Kernighan (1973) k-opt

20 FMBT/ AMC 09:48 12 mar opt Idéia de vizinhança: trocar um arco por outro. i j k l i j k l

21 FMBT/ AMC 09:48 12 mar opt, k-opt i j k l n m i j k l n m k-opt...

22 FMBT/ AMC 09:48 12 mar Lin-Kernighan Restringir k-opt àquelas configurações que podem ser obtidas como uma sequência de movimentos 2-opt. (Por que simplesmente não usar 2-opt ?) k-opt2-opt Lin-Kernighan


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