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14 Nov 2008. 15:23 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Método Iterativo de Jacobi-Richardson.

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1 14 Nov :23 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Método Iterativo de Jacobi-Richardson

2 14 Nov :54 Método iterativo Vimos que dado um sistema Ax=b, se conseguirmos reescrevê-lo na forma: x = Bx+g Podemos usar um processo iterativo do tipo: x (k+1) = Bx (k) +g. Que convergirá se, para qualquer norma consistente, ||B|| <1.

3 14 Nov :54 Jacobi-Richardson Vamos ver uma maneira simples de obter uma matriz B, chamado de método de Jacobi-Richardson. Seja o sistema : A matriz A (det(A) 0) do sistema linear pode ser escrita como a soma de três matrizes: A = L+D+R.

4 14 Nov :54 Jacobi-Richardson A = L+D+R. Vamos escolher L,D e R de modo que L só tenha elementos abaixo da diagonal D só tenha elementos na diagonal R só tenha elementos acima da diagonal

5 14 Nov :54 Jacobi-Richardson Exemplo (3x3) A LDR

6 14 Nov :54 Jacobi-Richardson Supondo det(D) 0 (a ii 0, i=1,...n) e dividindo cada linha pelo elemento da diagonal, temos: A* L*IR* exemplificado no caso 3x3, mas válido para qualquer dimensão obviamente, o vetor b i também é dividido pelo elemento a ii.

7 14 Nov :54 Jacobi-Richardson No caso geral:

8 14 Nov :54 Reescrevendo Podemos reescrever o sistema como: (L*+I+R*)x = b* x = -(L*+R*)x + b* E o processo iterativo fica: Bg Jacobi-Richardson

9 14 Nov :54 Convergência Vimos que o processo iterativo converge se ||B|| < 1, para ao menos uma norma. No caso de Jacobi-Richardson: B = -(L*+R*) e portanto o método converge se, por exemplo: ||L*+R*|| 1 < 1 (critério das linhas) ou ||L*+R*|| 1 < 1 (critério das colunas):

10 14 Nov :54 Notas Note que se a matriz for estritamente diagonal dominante (isto é, em cada linha, o elemento da diagonal é estritamente maior que a soma de todos os outros elementos da linha), então o critério de convergência é automaticamente atendido para B = -(L*+R*). Note que o critério independe de x (0) No método de Jacobi-Richardson todos os valores de x da iteração (k+1) dependem dos valores de x da iteração (k), por isso o método é também chamado de Método dos deslocamentos simultâneos.

11 14 Nov :54 Exemplo Resolva o sistema linear: Pelo método de Jacobi-Richardson com x (0) = (0.7,-1.6,0.6) t, até encontrar um erro de

12 14 Nov :54 Exemplo (solução) Verificando convergência: Vemos que a matriz é estritamente diagonal dominante: Portanto o método irá convergir.

13 14 Nov :54 Exemplo (solução) Verificando convergência (outros critérios que poderiam ser usados): Critério das linhas: Critério das colunas:

14 14 Nov :54 Exemplo (solução) Iteração 1:

15 14 Nov :54 Exemplo (solução) Continuando:

16 14 Nov :54 No Excell


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