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6 May 2008. 17:21 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Caso discreto.

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1 6 May :21 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Minimos Quadrados - Caso discreto

2 12 Jun :22 Caso discreto Vamos inicialmente considerar o caso em que sabemos a função a aproximar em apenas alguns pontos: x x 1 x 2 x 3... x m f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 )... f(x m )

3 12 Jun :22 Exemplo gráfico Vemos que os pontos parecem uma reta. A pergunta é: qual a melhor reta que os aproximaria ?

4 12 Jun :22 Reta (regressão linear) f(x) g(x) = a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) f(x) g(x) = a 1 x + a 2 g 1 (x) = x g 2 (x) = 1 tarefa: escolher a 1 e a 2 de modo que o erro seja mínimo!

5 12 Jun :22 Mínimos quadrados Como vimos, usamos os "mínimos quadrados". E queremos o mínimo em referência aos parâmetros a 1 e a 2 Do cálculo diferencial, se a função e(a 1,a 2 ) = i=1 m e(x i ) 2 tem mínimo, então:

6 12 Jun :22 Derivando em relação a a 1 Assim: i)

7 12 Jun :22 Derivando em relação a a 2 Assim: ii)

8 12 Jun :22 Sistema Portanto, os parâmetros que minimizam E(a 1,a 2 ) obrigatoriamente respeitam o sistema abaixo: Sistema de equações normais. Note que a matriz A é simétrica e definida positiva (podemos aplicar Cholesky) pode-se provar que o ponto obtido realmente minimiza a função E(a 1,a 2 )

9 12 Jun :22 Exemplo Obter a reta que melhor ajusta os dados: x f(x) Solução: Como vimos, a reta g(x) = a 1 x + a 2 que melhor se ajusta é aquela cujos parâmetros resolve o sistema:

10 12 Jun :22 Exemplo (solução) Sistema: a 1 = a 2 =

11 12 Jun :22 Exemplo (solução) Logo: f(x) g(x) = x Erro: e(x 1 ) 2 = (f(0)-g(0)) 2 = e(x 2 ) 2 = (f(1)-g(1)) 2 = e(x 3 ) 2 = (f(2)-g(2)) 2 = e(x 4 ) 2 = (f(3)-g(3)) 2 = e(x 5 ) 2 = (f(4)-g(4)) 2 = i=1 5 e(x i ) 2 =

12 12 Jun :22 Outras funções Obviamente, nem toda função que desejaremos aproximar será uma reta. Por exemplo: Nesse caso: g(x) = a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) + a 3 g 3 (x) g 1 (x) = x 2, g 2 (x) = x e g 3 (x) = 1

13 12 Jun :22 Caso geral: g(x) = a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x) Procedendo de maneira análoga, temos que derivar a função de erro parcialmente em relação a cada um dos n parâmetros e igualar a zero (condição necessária para que seja um ponto de mínimo):...

14 12 Jun :22 Sistema E obtemos o sistema:

15 12 Jun :22 Exemplo Considere a função f(x) definida conforme a tabela: ao traçarmos o gráfico, vemos que os pontos se assemelham a uma parábola. Encontre, pois, o polinômio de grau dois que melhor se ajusta aos pontos. g(x) = a 1 x 2 + a 2 x + a 3 isto é: g 1 = x 2, g 2 = x e g 3 =1 x f(x)

16 12 Jun :22 Exemplo (solução) Temos o sistema de equações normais: i=1 6 g 1 (x i ) g 1 (x i ) i=1 6 g 3 (x i ) g 2 (x i ) e assim por diante...

17 12 Jun :22 Numericamente a 1 = a 2 = a 3 =

18 12 Jun :22 Função g(x) g(x) = x x Nenhuma outra função quadrática apresentará um menor erro quadrático para aqueles pontos.


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