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Função de uma Variável Aleatória. 2 5. Função de uma Variável Aleatória Seja X uma v.a. definida sobre o modelo e g(X) uma função da variável aleatória.

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1 Função de uma Variável Aleatória

2 2 5. Função de uma Variável Aleatória Seja X uma v.a. definida sobre o modelo e g(X) uma função da variável aleatória X. A quantidade obtida pelo mapeamento da v.a. X por uma função é ainda uma variável aleatória. Então qual é a PDF e a p.d.f. de Y, e y 1_X1_X

3 3 Exemplo 5.1: Seja X uma v.a. com FDP e f.d.p. Determine e se Se

4 4 Exemplo 5.2: Se então o evento e portanto Se da figura, o evento é equivalente a então Diferenciando, obtém-se Se X é uma v.a. gaussiana com f.d.p. Então (v.a. Chi-square com n = 1)

5 5 Exemplo 5.3: seja Neste caso tem-se Para y = 0 Para tem-se e então Diferenciando: (b) (c)

6 6 Exemplo 5.4: Retificador de meia onda Para y = 0, Se então Assim Diferenciando: Procedimento geral: Dado esboça-se o gráfico de y=g(x) e determina-se os intervalos de variação de y, por exemplo Calcula-se então a FDP e a f.d.p. da v.a. X para os intervalos.

7 7 Se é uma função contínua é fácil estabelecer um procedi- mento direto para obter visto que, se é igual a zero para um número finito de pontos, então g(x) apresenta um número finito de máximos e mínimos, e eventualmente torna-se monotônica quando Considere um ponto genérico y sobre o eixo y e um incremento como mostrado na figura. Como determinar para se é contínua ? Calcula-se, então

8 8 Mas o evento pode ser expresso em termos de X. Para isso deve observar que a equação y=g(x) tem 3 soluções: Dessa forma quando a variável aleatória X poderia assumir qualquer um dos três eventos mutuamente exclusivos. Então a probabilidade do evento é igual a: Dado que são pequenos pode-se fazer a aproximação:

9 9 Exemplo: Se então para todo e representam as duas soluções para cada y. Note que a solução é somente função de y. Solução. Observando a figura: Fig. 5.5

10 10 Exemplo 5.5: Dado que, e que X é uma v.a. com f.d.p Encontre Solução: Para qualquer y, é solução única e, Em particular, se X é uma v.a. com distribuição de Cauchy com parâmetro isto é: A a f.d.p da v.a., pode ser escrita como: Que representa uma v.a. de Cauchy com parâmetro

11 11 Exemplo 5.6: Suponha que e que Determine Solução: Como X tem probabilidade zero de estar fora do intervalo tem, também, probabilidade zero ser ser encontrado fora do intervalo Certamente fora deste intervalo. Para qualquer a equação tem um número infinito de soluções onde é a solução principal. Usando a simetria (a) (b) Portanto para

12 12 Agora para o caso em que apenas duas soluções interessam, como pode ser visto na figura anterior. Então exceto para e Exemplo 5.7: Seja onde X é uma v.a. uniformemente distribuída em. Determine Solução:

13 13 Funções de variáveis aleatórias discretas Suponha que X é uma v.a. discreta, com e Y é ainda uma v.a. do tipo discreta, de modo que se e Exemple 5.8: Suponha que tem uma distribuição de Poisson, então Se Determine a f.d.p. da v.a. Y. Solução: X toma valores, tal que Y assume somente os valores então


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